Producto escalar en espacio de Fock e interacción de Coulomb en segunda cuantización

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Producto escalar en espacio de Fock e interacción de Coulomb en segunda cuantización

qwertuy

Esta es una duda con la que me he encontrado tratando de calcular la forma de la interacción coulombiana en segunda cuantización en una base de ondas planas.

Dejar $k$ denota el impulso y $r$ la posición, y déjame usar $a$ y $b$ para variables de espín, de modo que, por ejemplo $\vert r a \rangle$ denota un estado de una partícula con posición $r$ y girar $a$ y $\vert k b \rangle$ un estado de una partícula con momento $k$ y girar $b.$ Sabiendo que se cumple (suponiendo que la constante de normalización sea una para facilitar la notación) que $\langle ra \vert kb \rangle = \exp(i kr) \delta_{a,b},$ Me gustaría calcular el siguiente producto escalar en el espacio de Fock:

⟨ k a, k^{'} a^{'} | r b, r^{'} b^{'} ⟩ .

$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle.$

Mi argumento: Por definición, $\vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\vert r b \rangle \otimes \vert r^\prime b^\prime \rangle-\vert r^\prime b^\prime \rangle \otimes \vert r b \rangle \right)$ y análogamente para $\langle k a, k^\prime a^\prime \vert.$ Por lo tanto, uno encuentra rápidamente que el producto escalar es solo el determinante de la matriz que consta de todos los pares posibles, es decir:

⟨ k a, k^{'} a^{'} | r b, r^{'} b^{'} ⟩ = ⟨ k a | r b ⟩ ⟨ k^{'} a^{'} | r^{'} b^{'} ⟩ - ⟨ k a | r^{'} b^{'} ⟩ ⟨ k^{'} a^{'} | r b ⟩,

$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\langle ka \vert rb \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert r^\prime b^\prime \rangle- \langle ka \vert r^\prime b^\prime \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert rb\rangle,$ lo que da el resultado:

Exp (- i k r - i k^{'} r^{'}) d_{a, b} d_{a^{'}, b^{'}} - Exp (i k r^{'} + i k^{'} r) d_{a, b^{'}} d_{a^{'}, b} .

$\exp(-ikr-ik^\prime r^\prime)\delta_{a,b}\delta_{a^\prime,b^\prime}-\exp(ikr^\prime+ik^\prime r)\delta_{a,b^\prime} \delta_{a^\prime, b}.$

Una vez que tenga esto, quiero usar este resultado para calcular el elemento de la matriz. $\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle$ de la interacción de Coulomb, que por definición satisface (en unidades adecuadas):

⟨ r_{1} b_{1}, r_{2} b_{2} | V | r_{3} b_{3}, r_{4} b_{4} ⟩ = \frac{1}{| r_{1} - r_{2} |} d (r_{3} - r_{1}) d (r_{4} - r_{2}) d_{b_{3}, b_{1}} d_{b 4, b 2} .

$\langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle=\frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert}\delta(r_3-r_1)\delta(r_4-r_2)\delta_{b_3,b_1}\delta_{b4,b2}.$ Al emplear el doble de la resolución de la identidad, tenemos:

⟨ k_{1} a_{1}, k_{2} a_{2} | V | k_{3} a_{3}, k_{4} a_{4} ⟩ =

$\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle=$

\sum_{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}} \int d r_{1} d r_{2} d r_{3} d r_{4} ⟨ k_{1} a_{1}, k_{2} a_{2} | r_{1} b_{1}, r_{2} b_{2} ⟩ ⟨ r_{1} b_{1}, r_{2} b_{2} | V | r_{3} b_{3}, r_{4} b_{4} ⟩ ⟨ r_{3} b_{3}, r_{4} b_{4} | k_{3} a_{3}, k_{4} a_{4} ⟩ .

$\sum_{ b_1,b_2,b_3,b_4 } \int dr_1 dr_2 dr_3 dr_4 \langle k_1 a_1,k_2a_2 \vert r_1 b_1,r_2b_2 \rangle \langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle \langle r_3b_3,r_4b_4 \vert k_3a_3,k_4a_4 \rangle.$ Usando el producto escalar anterior, obtengo:

\sum_{b_{1}, b_{2}} \int d r_{1} d r_{2} ({mi}^{- i k_{1} r_{1} - i k_{2} r_{2}} d_{a_{1}, b_{1}} d_{a_{2}, b_{2}} - {mi}^{i k_{1} r_{2} + i k_{2} r_{1}} d_{a_{1}, b_{2}} d_{a_{2}, b_{1}})

$\sum_{b_1,b_2}\int dr_1 dr_2 \left( e^{-ik_1r_1-ik_2 r_2}\delta_{a_1,b_1}\delta_{a_2,b_2} -e^{ik_1r_2+ik_2 r_1}\delta_{a_1,b_2} \delta_{a_2, b_1}\right)$

\times \frac{1}{| r_{1} - r_{2} |} ({mi}^{- i k_{3} r_{1} - i k_{4} r_{2}} d_{a_{3}, b_{1}} d_{a_{4}, b_{2}} - {mi}^{i k_{3} r_{2} + i k_{4} r_{1}} d_{a_{3}, b_{2}} d_{a_{4}, b_{1}}) .

$\times \frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert} \left( e^{-ik_3r_1-ik_4 r_2}\delta_{a_3,b_1}\delta_{a_4,b_2}-e^{ik_3r_2+ik_4 r_1}\delta_{a_3,b_2} \delta_{a_4, b_1}\right).$

A continuación conecto este resultado en la expansión.

\sum_{k_{1} s_{1}, k_{2} s_{2}, k_{3} s_{3}, k_{4} s_{4}} ⟨ k_{1} a_{1}, k_{2} a_{2} | V | k_{3} a_{3}, k_{4} a_{4} ⟩ C_{k_{1} s_{1}}^{†} C_{k_{2} s_{2}}^{†} C_{k_{4} s_{4}} C_{k_{3} s_{3}}

$\sum_{k_1 s_1,k_2 s_2,k_3 s_3, k_4 s_4} \langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle c^{\dagger}_{k_1 s_1}c^{\dagger}_{k_2 s_2}c_{k_4 s_4}c_{k_3 s_3}$

PERO (este es el problema) no puedo derivar de aquí la segunda forma cuantificada de la interacción coulombiana, que es $\frac{1}{2}\sum_{k_1,k_2,q,s_1,s_2} q^{-2} c^{\dagger}_{k_1,s_1}c^{\dagger}_{k_2, s_2}c_{k_4-q,s_2}c_{k_3+q,s_1}.$ Las cosas simplemente no cuadran. Hay algunos exponenciales que parecen estar mal colocados, y no veo dónde puedo haber cometido un error. ¿Qué estoy haciendo mal?

Respuestas (2)

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qwertuy · Answer 1

De acuerdo. Me he dado cuenta de lo que estaba mal. En realidad, es un detalle bastante sutil que, en mi opinión, no está bien explicado en la mayoría de los libros de texto. Para los interesados: Fue en el apéndice sobre Segunda Cuantización del libro "Density Functional Theory: An Advanced Course" de Engel y Dreizler, donde finalmente aclaré mis dudas.

Siguiendo la notación del apéndice del libro mencionado anteriormente, permítanme llamar $\vert a b )=\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle$ y $\vert a b \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert a b )-\vert \vert b a ) \right).$

Entonces, la CLAVE es que NO es cierto, como había escrito en mi pregunta (omitiré el giro ahora para mayor claridad), que

V = \sum_{k_{1} k_{2} k_{3} k_{4}} ⟨ k_{1} k_{2} | V | k_{3} k_{4} ⟩ C_{k_{1}}^{†} C_{k_{2}}^{†} C_{k_{4}} C_{k_{3}} .

$V=\sum_{k_1 k_2 k_3 k_4} \langle k_1 k_2 \vert V \vert k_3 k_4 \rangle c^\dagger_{k_1} c^\dagger_{k_2} c_{k_4}c_{k_3}.$ La identidad correcta es:

V = \frac{1}{2} \sum_{k_{1} k_{2} k_{3} k_{4}} (k_{1} k_{2} | V | k_{3} k_{4}) C_{k_{1}}^{†} C_{k_{2}}^{†} C_{k_{4}} C_{k_{3}},

$V=\frac{1}{2}\sum_{k_1 k_2 k_3 k_4} \left( k_1 k_2 \vert V \vert k_3 k_4 \right) c^\dagger_{k_1} c^\dagger_{k_2} c_{k_4}c_{k_3},$ y luego todos los cálculos siguen fácilmente (NOTA: El factor

1 / 2

$1/2$ no es tan importante; eso fue solo un error menor. El punto crucial es el cambio de

⟨ . . . ⟩

$\langle ... \rangle$ a

(. . .) .

$( ... ).$

La prueba de la identidad anterior es fácil. Solo usa la forma de la resolución de la identidad en el espacio de Fock, $\frac{1}{2}\sum_{a b}\vert a b \rangle \langle a b \vert=$ Id (el 2 proviene de la sobrecompletitud del conjunto base) y la simetría de la interacción, $(a b \vert V \vert c d)=(b a \vert V \vert d c).$

El caso es que hasta ayer, nunca me había detenido a derivar esa fórmula (la forma de la interacción de 2 cuerpos en la segunda cuantización) por mi cuenta, y como muchos libros de texto no son demasiado específicos en este tema, creí mal. fórmula sea la correcta (de hecho, he visto la otra fórmula escrita -con el $\frac{1}{2}$ factor- en muchos lugares, lo cual, aunque comprensible, creo que es un desastre de notación y potencialmente muy confuso para principiantes como yo).

Para los estudiantes: supongo que el resultado final es: haga los cálculos por su cuenta sin consultar nada. ¡Solo cuando eres capaz de hacer eso puedes estar seguro de haber aprendido algo!

RoderickLee · Answer 2

Puede intentar convertir el argumento de $r_1, r_2$ en $r_1, r_2-r_1$ . Con esto, luego integras $r_2-r_1$ , que es algo como

\int d^{3} r \frac{{mi}^{i k \cdot r}}{r} \propto \frac{1}{k^{2}}

$\int d^3{\bf r}\frac{e^{i\bf k\cdot r}}{r}\propto\frac{1}{k^2}$

Sí, claro, eso es lo que había hecho yo, y no llego a la expresión correcta. Supongo que hay algún error conceptual en la derivación de la ecuación que obtuve, que no he visto en ninguna parte ... Pero no veo qué estoy haciendo mal. ¡Gracias!

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