Superposición de estados en segunda cuantización

Supongamos que tengo una partícula de espín no especificado cuyos estados están determinados por un solo número cuántico k = 1 , . . . , norte . En la notación estándar de la mecánica cuántica, el estado tal que la partícula se encuentra en una superposición de todos los estados posibles viene dado por

| φ ⟩ = 1 norte ∑ k = 1 norte | k ⟩ .
¿Tendría sentido usar una segunda cuantización para describir el mismo estado? Hasta ahora solo he visto este formalismo cuando se trata de sistemas de muchos cuerpos. En este caso, tal vez sería algo como esto:
a 1 † | 0 ⟩ + . . . + a norte † | 0 ⟩ ,
si a es el operador de aniquilación para la partícula y | 0 ⟩ el estado de vacío. Hay varios puntos de los que no estoy seguro:

  • ¿Todavía puedo usar el formalismo si, a priori, no conozco el giro de la partícula?
  • ¿Todavía puedo agregar diferentes amplitudes a la suma formal? a 1 † | 0 ⟩ + . . . + a norte † | 0 ⟩ , en la forma α 1 a 1 † | 0 ⟩ + . . . + α norte a norte † | 0 ⟩ ?
  • ¿Tiene esto algún sentido?
Un requisito de QFT (/segunda cuantificación) es que pueda reducirse a QM estándar. Como tal, creo que la idea detrás de esta pregunta debería funcionar en teoría. Consulte la definición del operador de campo en QFT cuando se expresa en ~momentum.
¿No hace esto la acción de los operadores de campo cuantificados?
ϕ ^ ( X ) | 0 ⟩ = ∫ d 3 pag ~   ( a † ( pag ) mi − i pag X + a ( pag ) mi i pag X ) | 0 ⟩ = ∫ d 3 pag ~   a † ( pag ) mi − i pag X | 0 ⟩ .
La fórmula de Charlie también puede generalizarse para aplicarse con amplitudes diferentes de las ondas planas (aunque, si no recuerdo mal, todavía tienen que ser soluciones de la ecuación de Schrödinger [aunque, puedo ser demasiado restrictivo en mi comprensión de esa memoria])
Esta propuesta me parece bastante diferente del segundo escenario ordinario de cuantificación. Aquí estamos tomando un espacio de Hilbert atravesado por N estados ortogonales y tratando de reformularlo como un espacio de Hilbert atravesado por 2^N estados ortogonales. A menos que me esté perdiendo algo, ¿cómo podrían los espacios vectoriales con un número diferente de dimensiones finitas ser isomorfos entre sí? Por lo general, comenzamos con un producto directo de un número infinitamente numerable de espacios de Hilbert de dimensión infinita e incontable, y simplemente lo descomponemos en una suma directa de diferentes sectores, cada uno con un número de partículas bien definido.
El segundo no parece cambiar la dimensionalidad, mientras que el primero sí.

Respuestas (1)

Sí, es posible usar la segunda cuantización para problemas de una sola partícula de la forma descrita en la pregunta. Hay algunos puntos a los que prestar atención:

  • En la mayoría de los casos esto será redundante, ya que el formalismo está diseñado expresamente para tratar problemas de muchas partículas, teniendo en cuenta las estadísticas de fermiones y bosones. Pero hay excepciones.
  • Dependiendo de la técnica de cálculo, uno puede o no tener que prestar atención a la limitación del número total de partículas. Por ejemplo, las técnicas de ecuación de movimiento, que se aplican a un hamiltoniano conservador de partículas, suelen pasar sin problemas. Sin embargo, todo tipo de promedios estadísticos requieren la imposición de una restricción: de hecho, se utilizan varias técnicas para imponer tales restricciones (aunque normalmente se utilizan en entornos más complejos), como el enfoque del bosón esclavo, los fermiones de drones, el bosón de Schwinger, etc.
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