¿Cómo escribir el estado de salida de un divisor de haz?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Como referencia, este enfoque se denomina segunda cuantificación.

Básicamente, su confusión proviene de una confusión entre la imagen de Schrödinger , donde el estado evoluciona,$\ket{Ψ_{\text{out}}}≠\ket{Ψ_{\text{in}}}$) y los operadores son constantes, y la imagen de Heisenberg , donde el estado es constante$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$) y los operadores evolucionan. En la práctica, a menudo se cambia de una imagen a otra (ya veces en imágenes intermedias), dependiendo de cuál sea más práctico.

El segundo enfoque de cuantización está en la imagen de Heisenberg, donde formalmente$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$, pero los observables evolucionan. Los operadores de entrada, escritos como productos de$a_x^\dagger$y$a_x$, se convierten en operadores de salida, escritos como productos de$b_x^\dagger$y$b_x$, estando dada la transformación por la matriz unitaria$U_{T^*}^{-1}$.

Más específicamente,$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}=a_1^\dagger a_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{in}}$, pero$b_1^\dagger b_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{out}}≠\ket{1,1}_{\text{in}}$: un fotón en cada uno de los modos de entrada no está en el mismo estado que un fotón en cada uno de los modos de salida. La matriz$U_{T^*}$le da una relación entre los operadores de entrada y los operadores de salida:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*} \begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix}; & \text{therefore }\begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*}^{-1} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} = U_{T^*}^{\dagger} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix}, \end{align}$$ y puedes reescribir $a_1^\dagger a_2^\dagger$como $(T b_1^\dagger-R^*b_2^\dagger)(R b_1^\dagger+T^*b_2^\dagger)$en la expresión de $\ket{Ψ_{\text{out}}}$para obtener la expresión del estado en la “base de salida”.