Comprensión básica del espacio de Fock de un campo escalar real cuantificado

Preguntas

¿Cuál es la interpretación física del espacio de Fock como una suma directa de$\mathcal{H}_n$?

No sé qué estás buscando aquí. Esta es la definición de un espacio de Fock.

Parece que el espacio de Fock tiene subespacios invariantes de dimensiones$n$dónde$n\in \mathbb{Z}$. ¿Significa que bajo la transformación de Poincaré, el$n$-estados de partículas, para un determinado$n$, representan una representación irreducible del grupo de Poincaré, es decir, bajo una transformación de Poincaré, los estados dentro de$\mathcal{H}_n$, para una dada$n$, mezclar entre ellos.

Sí, en una teoría libre (gaussiana) existe un operador numérico$N = \sum_k a_k^\dagger a_k$que puede decirte el número exacto de partículas en un estado.

Si la interpretación anterior es correcta, ¿es también cierto que los estados en diferentes representaciones irreducibles, por$n\neq m$, están etiquetados por diferentes valores de masas?

Depende de lo que llames la masa de un estado. Podrías definirlo como$\sum_i p_i^2 = n m^2$. Esta masa es medida por el operador.$P_1^2 \otimes P_2^2 \otimes \cdots \otimes P_n^2$dónde$P_i^2$es el operador de cantidad de movimiento al cuadrado que actúa sobre el$i$subespacio en${\cal H}_n$. Esta "masa" es, por supuesto, diferente para$n_1 \neq n_2$.

Una mejor definición es la masa invariante del estado,$P^2 = ( \sum P_i )^2$. La masa invariante puede ser la misma incluso para$n_1 \neq n_2$.

¿Significa también que la superposición de estados pertenecientes a dos representaciones irreducibles diferentes (por ejemplo, la superposición de un estado de una partícula con un estado de dos partículas) está prohibida en la naturaleza?

No, no veo por qué estaría prohibido en la naturaleza. Estos simplemente no tendrían la interpretación clásica habitual de un grupo de partículas en movimiento que no interactúan, pero en general es un estado perfectamente bueno en la teoría cuántica.