Operador de inversión de tiempo en modelo de unión estrecha con segunda forma de cuantificación

Comenzando con algunos antecedentes de Wikipedia , tenemos que bajo la inversión del tiempo, la posición no cambia mientras que el impulso cambia de signo.

En mecánica cuántica podemos expresar la acción de la inversión del tiempo sobre estos operadores como$\Theta\,\mathbf{x}\,\Theta^\dagger = \mathbf{x}$y$\Theta\,\mathbf{p}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{p}$. Vale la pena mencionar aquí que el operador de inversión de tiempo,$\Theta$, es anti -unitario, lo que permite expresarlo como$\Theta = UK$dónde$U$es unitario y$K$es el operador de conjugación complejo.

En cuanto a los operadores de creación/aniquilación utilizados en la segunda cuantización, el signo cambia bajo$\Theta$sugeriría una transformación de$a_r \rightarrow a_r$y$a_k \rightarrow a_{-k}$. Si le preocupa el hecho de que$k$representa un impulso de cristal y no un impulso real, simplemente puede tomar la transformación de posición, que quizás sea más confiable, y usar$a_k = \sum_r \, a_r \,\mathrm{exp}[ -\mathrm{i} k\cdot r]$para verificar$a_k \rightarrow a_{-k}$directamente.

Usando estas transformaciones, debería poder verificar que el hamiltoniano de unión estrecha es invariante bajo la inversión del tiempo en el espacio de posición y momento para una red con o sin base. Tenga en cuenta que generalmente tomaría el conjugado complejo de los coeficientes en$H$, sin embargo en tu caso$t$y$\epsilon_k$ambos son reales. Sin embargo, es importante recordarlo, sobre todo para asegurarse de que$H$permanece hermitiano.

En cuanto a tu comentario sobre$\sigma_y$, esto solo es necesario si incluye giro. El giro cambia de signo bajo la inversión del tiempo, por lo que$\Theta\,\mathbf{S}\,\Theta^\dagger = -\mathbf{S}$. En este caso, podemos escribir formalmente$\Theta = \mathrm{exp}[-i \pi J_y]\,K$, que es probablemente la relación a la que te refieres.

De acuerdo con Modern Quantum Mechanics de JJ Sakurai , una posible convención para los estados de momento angular invertido en el tiempo es$\Theta | j,m\rangle = (-1)^m |j,-m\rangle$. Esto sugiere que con los índices de espín, los operadores de creación/aniquilación se transforman como$a_{r,m} \rightarrow (-1)^m\,a_{r,-m}$y$a_{k,m} \rightarrow (-1)^m \, a_{-k,-m}$bajo inversión de tiempo. Por lo que entiendo, la mayoría de los hamiltonianos de giro serán invariantes bajo esta transformación. Un ejemplo cuando este no es el caso sería en presencia de un campo magnético externo que se acopla a los espines a través de un$\mathbf{S}\cdot \mathrm{B}-$término similar.

Es interesante cómo, incluso en ausencia de un campo externo, el estado fundamental de los hamiltonianos de espín puede romper espontáneamente la simetría de inversión temporal presente en$H$, pero en lugar de discutir esto yo mismo, lo dirigiré a esta respuesta muy bien escrita .