Derivación del acoplamiento espín-órbita de Rashba en un modelo de unión estrecha

Por definición tenemos

$\Psi(\vec{r}) = \sum_i c_i w(\vec{R}_i-\vec{r})$

dónde$w(\vec{R_i}-\vec{r})$es una función Wannier centrada en$\vec{R}_i$y sigue la condición de ortonormalidad

$\int d^3r \left[ w^*(\vec{R_i}-\vec{r}) w(\vec{R_j}-\vec{r}) \right] = \delta_{ij}$

A partir del primer principio, se puede definir una derivada como,

$\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = \frac{\vec{d}}{d} [w(\vec{R}_i + \vec{d}) - w(\vec{R}_i)]/d$

En principio, esta definición es válida sólo para$d\rightarrow 0$. En la práctica lo usamos cuando$d$es la distancia entre dos vecinos más cercanos. ($\vec{d} = d_x \hat{e}_x + d_y \hat{e}_y + d_z \hat{e}_z$)

Ahora podemos escribir los operadores de cantidad de movimiento como

$\hat{p}_x \Psi = -i \partial_x \sum_i c_i w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \hat{e}_x.\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \frac{d_x}{d^2}(w(\vec{R}_i+\vec{d})-w(\vec{R}_i))$

Aquí no estoy escribiendo la variable$\vec{r}$y$\hbar$. Usando esto para evaluar el producto interno

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{i,j} c_i^\dagger c_j \int d^3r \frac{d_x}{d^2}\left[ w^*(\vec{R}_i)(w(\vec{R}_j+\vec{d})-w(\vec{R}_j) \right]$

Debido a la ortonormalidad de las funciones de Wannier, esto da una contribución finita solo cuando$\vec{R}_j= \vec{R}_i + \vec{d}$. Por lo tanto la suma de todos$i,j$efectivamente reducido a la suma de todos$i$y sus primeros vecinos más cercanos. Para denotar que uso$\langle i,j\rangle$como el índice de suma.

Por lo tanto, terminamos con

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_x}{d^2}$

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_y \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_y}{d^2}$

combinándolos

$i \gamma \int d^3 r \left[\Psi(\vec{r})(\sigma_y p_x - \sigma_x p_y) \Psi (\vec{r})\right]\\ = \frac{\gamma}{d^2} \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger (\sigma_y d_x - \sigma_x d_y) c_j \\ =\lambda \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger \hat{e}_z.(\vec{d}\times \sigma) c_j$

dónde$\hat{e}_z = (0,0,1)$es el vector unitario a lo largo$z$eje y

$\hat{e}_z.(\vec{d}\times \vec{\sigma}) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ d_x & d_y & d_z \\ \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \end{vmatrix} = (d_x \sigma_y - d_y \sigma_x)$

Me quedé atrapado por este problema hace unas semanas y creo que es una pregunta fácil, pero resulta que la derivación del efecto Rashba en el espacio real es bastante complicada. El hamiltoniano exacto que presenta es solo la aproximación de salto de vecino más cercano y existen otros términos de alto orden, como el siguiente término de salto de vecino. La derivación depende en gran medida de los orbitales que tenga en el sistema (s, p, d...) y en la Sec. III del siguiente artículo de la PRB:

Teoría de unión estrecha del acoplamiento espín-órbita en grafías

Espero que esta respuesta sea útil :)