Relación entre diferentes grupos ortogonales

He estado leyendo en grupos ortogonales y tengo algunas preguntas.

Recordar el grupo ortogonal de matrices$O(n)=\{A\in \mathbb{R}^{n,n} : \det{A}\ne 0, A^T=A^{-1}\}$. esto satisface$\langle Ax,Ay\rangle=x^TA^TAy=x^Ty=\langle x,y\rangle$para todos$x,y\in \mathbb{R}^n$, donde el producto interior dado es el producto escalar.

Supongamos que tenemos otro producto interno en$\mathbb{R}^n$, decir$[-,-]$. De manera similar, se puede definir el grupo ortogonal de este producto interno,$O([-,-])=\{A\in \mathbb{R}^{n,n}: \det{A}\ne 0,\quad [Ax,Ay]=[x,y]\quad\forall x,y\in \mathbb{R}^n\}$.

1) Del cálculo en el párrafo 1, tenemos$O(n)\subset O(<-,->)$es decir, las matrices ortogonales son un subconjunto de las matrices invariantes con respecto al producto escalar). ¿Podemos decir que estas dos definiciones son equivalentes? De ese mismo cálculo en el párrafo 1, solo veo el requisito de que$A^TA=I_n$(es decir$A^T$es un inverso izquierdo). ¿Es esto lo mejor que podemos concluir? (¡Estoy bastante seguro de que no!)

2) Más generalmente, ¿podemos relacionar las matrices ortogonales con el producto interno arbitrario$[-,-]$? ¿Hay alguna condición general por la cual$O(n)\subset O([-,-])?$(o incluso$O(n)=O([-,-])?$

Pensamientos: Es bien sabido que cualquier producto interno en$\mathbb{R}^n$es de la forma$[x,y]=x^TBy$, dónde$B$es una matriz definida positiva simétrica. Por lo tanto, si$A\in O(n)$, entonces$[Ax,Ay]=x^TA^TBAy$, así que supongo que el requisito de que$A\in O([-,-])$es eso$A^TBA=B$. Eso es,$A^{-1}BA=B$. A partir de aquí, no tengo idea de cómo continuar, ¡todavía no me parece muy intuitivo!

Edito: parece$A^TBA=B$caracteriza las matrices en$O([-,-])$de acuerdo con las matrices ortogonales solo definidas para el producto interno estándar? .

¡Gracias!