Demostración de un producto interno de Matrix

Me dan un producto interno de matriz en matrices cuadradas definidas como$\langle A,B\rangle=tr(AB^t)$, dónde$M^t$denota la transposición. Se me pide que demuestre que esto es de hecho un producto interno. Pasamos por 3 definiciones para el producto interno:
$\langle A+B,C\rangle=\langle A,C\rangle+\langle B,C\rangle$
$\langle A,B\rangle=\overline{\langle B,A\rangle}$
$\langle A,A\rangle\geq0$, En particular,$\langle A,A\rangle=0\iff A=0$
He probado que el producto interno definido se ajusta a la primera y la última definición, pero tengo problemas para realizar la prueba de simetría conjugada. Esto es lo que tengo hasta ahora:
$\overline{\langle B,A\rangle}=\overline{tr(BA^t)}=tr(\overline{BA^t})=tr((\overline{A})\overline{(B^t)})^t$