¿Una estructura compleja lineal conserva un producto interno real?

Dejar ( V , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) ser un espacio de producto interior real, y A una estructura compleja en V . Desde A 2 = − Identificación , podemos deducir que ⟨ A v , w ⟩ = − ⟨ v , A w ⟩ para todos v , w ∈ V ? Traté de mostrar que

⟨ A v , w ⟩ = ⟨ A ( A v ) , A w ⟩ = − ⟨ v , A w ⟩ ,
pero la segunda línea solo parece ser cierta si A es ortogonal, y no veo por qué debería serlo. Cualquier ayuda es apreciada.

Respuestas (1)

No necesariamente. Por ejemplo, tome la estructura compleja A en R 2 definido por

A ( X , y ) = ( 2 y , − 1 2 X ) .
Luego, bajo el producto escalar habitual,
A ( 2 , 1 ) ⋅ ( − 2 , 2 ) = ( 2 , − 1 ) ⋅ ( − 2 , 2 ) = − 6 ( 2 , 1 ) ⋅ A ( − 2 , 2 ) = ( 2 , 1 ) ⋅ ( 4 , 1 ) = 7.

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