Matriz de una transformación lineal en base

Dada una transformación lineal en$\mathbb{R^3}$como sigue:

$$\phi(x)=(x,a)a$$ dónde$(x,a)$representa el producto escalar de los vectores$x$y$a$,y$a=(1,2,3)$. Encuentre la matriz de esta transformación sobre la base$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$, en el que se dan todos los vectores anteriores, y también encuentre la matriz sobre la base$b_1=(1,0,1),b_2=(2,0,-1),b_3=(1,1,0)$.

Ya he encontrado la matriz sobre la base.$e_1,e_2,e_3$:

$$A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$ Además, la matriz que asigna la primera base a la segunda: $$C=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 0 &0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$ Sobre la nueva base$a=(\cfrac{5}{3},-\cfrac{4}{3},2)$. He hecho algunos intentos para encontrar la matriz.$B$(la segunda matriz preguntada en la pregunta) pero ninguna coincide con la respuesta del libro, mientras que$A$parece ser correcto

La respuesta es

$$B=\begin{bmatrix} 20/3 &-5/3 &5 \\ -16/3 &4/3 & -4 \\ 8 & -2 & 6 \end{bmatrix}$$ Cualquier ayuda es apreciada.