Producto cruzado y manejabilidad

Question

Producto cruzado y manejabilidad

Física
vectores
convenciones
marcos de referencia

usuario120474

Tengo algunas dificultades para entender el producto vectorial en un sistema de coordenadas para zurdos. quiero calcular $\hat{i} \times \hat{j}$ para los dos sistemas de la imagen (el primero es diestro y el segundo zurdo).

Para el primer sistema (diestro), estoy calculando el producto cruzado de esta manera y obtengo correctamente $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ . Pero cuando trato de aplicar el mismo método al segundo caso, ya que $\hat{i}$ todavía está en el $x$ dirección y $\hat{j}$ sobre el $y$ dirección, estoy obteniendo el mismo resultado, lo cual no es correcto ya que este es un sistema para zurdos. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Respuestas (3)

Producto cruzado y manejabilidad

Andreas Mastronikolis · Answer 1

En un sistema zurdo (que es el de la derecha), la relación que conecta sus vectores base $\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_3$ (que significa $\textbf{i}, \textbf{j}$ y $\textbf{k}$ respectivamente) es:

{mi}_{i} \times {mi}_{j} = \sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {mi}_{k}

$\textbf{e}_i \times \textbf{e}_j = \sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk} \textbf{e}_k$

dónde $\epsilon_{ijk}$ es el $\textbf{Levi - Civita Symbol}$ , definido (en este caso) como:

ϵ_{i j k} = {\begin{cases} - 1 & si (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) o (3, 1, 2) \\ + 1 & si (i, j, k) = (3, 2, 1), (1, 3, 2) o (2, 1, 3) \\ 0 & si i = j, j = k o k = i \end{cases}

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} -1 & \text{if} \ (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1) \text{ or } (3,1,2) \\ +1 & \text{if} \ (i,j,k) = (3,2,1), (1,3,2) \text{ or } (2,1,3) \\ 0 & \text{if} \ i=j, j=k \text{ or } k=i \end{cases}$ Puede probar cada caso individualmente. Ahora que sabe cómo interactúan sus vectores base, puede calcular el producto cruzado de dos vectores abstractos:

a = a_{1} {mi}_{1} + a_{2} {mi}_{2} + a_{3} {mi}_{3} y b = b_{1} {mi}_{1} + b_{2} {mi}_{2} + b_{3} {mi}_{3}

$\textbf{a} = a_1\textbf{e}_1 + a_2\textbf{e}_2 + a_3\textbf{e}_3 \text{ and } \textbf{b} = b_1 \textbf{e}_1 + b_2 \textbf{e}_2 + b_3 \textbf{e}_3$

Desde $\textbf{e}_i \times \textbf{e}_i = 0 \ \forall i \in \{1,2,3\}$ . $\textbf{a} \times \textbf{b}$ se simplifica rápidamente a:

a \times b = a_{1} b_{2} ({mi}_{1} \times {mi}_{2}) + a_{1} b_{3} ({mi}_{1} \times {mi}_{3}) + a_{2} b_{1} ({mi}_{2} \times {mi}_{1}) + a_{2} b_{3} ({mi}_{2} \times {mi}_{3}) + a_{3} b_{1} ({mi}_{3} \times {mi}_{1}) +

$\textbf{a} \times \textbf{b} = a_1b_2(\textbf{e}_1 \times \textbf{e}_2) + a_1b_3(\textbf{e}_1 \times \textbf{e}_3) + a_2b_1(\textbf{e}_2 \times \textbf{e}_1)+a_2b_3(\textbf{e}_2\times\textbf{e}_3) + a_3b_1(\textbf{e}_3 \times \textbf{e}_1) +$

+ a_{3} b_{2} ({mi}_{3} \times {mi}_{2}) =

$+a_3b_2(\textbf{e}_3 \times \textbf{e}_2) =$

a_{1} b_{2} (- {mi}_{3}) + a_{1} b_{3} {mi}_{2} + a_{2} b_{1} {mi}_{3} + a_{2} b_{3} {mi}_{1} + a_{3} b_{1} (- {mi}_{2}) + a_{3} b_{2} {mi}_{1} =

$a_1b_2(-\textbf{e}_3) + a_1b_3\textbf{e}_2 + a_2b_1\textbf{e}_3 + a_2b_3\textbf{e}_1+a_3b_1 (-\textbf{e}_2) + a_3b_2\textbf{e}_1 =$

(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) {mi}_{1} + (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) {mi}_{2} + (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) {mi}_{3}

$(a_2b_3-a_3b_2)\textbf{e}_1 + (a_1b_3 - a_3b_1)\textbf{e}_2 + (a_2b_1-a_1b_2)\textbf{e}_3$ Y en la notación del diagrama:

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) i + (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) j + (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) k

$\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_2b_3 -a_3b_2)\textbf{i} +(a_1b_3-a_3b_1)\textbf{j}+(a_2b_1-a_1b_2)\textbf{k}$ Espero que haya ayudado

Valle · Answer 2

Obtengo el mismo resultado, que no es correcto ya que este es un sistema para zurdos. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Tu no te estas perdiendo nada. Es correcto, deberías obtener el mismo resultado. Ha cambiado tanto el sentido de las manos del sistema de coordenadas como los roles de los vectores. Esos dos cambios se cancelan para que al final obtengas el mismo resultado. Para hacer esto más fácil de ver vamos a usar $’$ símbolos para indicar cosas en el sistema de coordenadas de mano izquierda. Entonces $\hat i’$ es el vector i en el sistema zurdo y $\times’$ es el producto cruzado zurdo.

Ahora, podemos usar el hecho de que $\hat i=\hat j’$ , $\hat j=\hat i’$ , y $\hat k=\hat k’$ mostrar

\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}

$\hat i \times \hat j = \hat k$

{\hat{j}}^{'} \times {\hat{i}}^{'} = {\hat{k}}^{'}

$\hat j’ \times \hat i’ = \hat k’$

{\hat{i}}^{'} \times {\hat{j}}^{'} = - {\hat{k}}^{'}

$\hat i’ \times \hat j’ = -\hat k’$

{\hat{i}}^{'} \times^{'} {\hat{j}}^{'} = {\hat{k}}^{'}

$\hat i’ \times’ \hat j’ = \hat k’$

Entonces vemos que su resultado es correcto. Cambió la lateralidad del sistema de coordenadas y cambió las definiciones de sus ejes y vectores base. Cada uno de esos cambios introdujo un signo menos que se anuló entre sí.

Natsfán · Answer 3

En un sistema para zurdos, la rotación positiva es en el sentido de las agujas del reloj sobre el eje de rotación. ¿Tuviste esto en cuenta correctamente? ¿Y usaste la mano izquierda? Parece funcionar para mí.

El método que ubicó es para un sistema de coordenadas diestro. Se analiza en su referencia, pero no se proporciona un método específico para un sistema para zurdos.

¿Qué tendría que cambiar en el método del determinante para que funcione con sistemas zurdos?
Solo me baso en lo que estaba escrito en su referencia. Nunca he usado un sistema de coordenadas para zurdos, así que no tengo ni idea de cómo funciona con uno. Si vuelve a leer la primera sección de su referencia, se trata de la lateralidad.
Otra cosa es ixj = k. Pero en el sistema zurdo ixj = -k. No estoy seguro de las implicaciones de eso. Mabe necesitas jxi en su lugar.

Producto cruzado y manejabilidad

usuario120474

Respuestas (3)

Andreas Mastronikolis

Valle

Natsfán

usuario120474

Natsfán

Natsfán

Propiedad no conmutativa del producto vectorial vectorial

¿Por qué el par se define como r×Fr×Fr × F y no F×rF×rF × r?

Posible error en la dinámica clásica de partículas y sistemas de Marion y Thornton

¿Dónde actúa la pseudo fuerza?

Un bloque en un plano inclinado

Definición de producto vectorial vectorial

¿Por qué se considera que el cero del potencial eléctrico es r=∞r=∞r = \infty, en lugar de r=0?r=0?r = 0?

Rotación del ángulo de Euler - activo/pasivo

¿Cómo entender la ambigüedad de la resolución vectorial?

¿Por qué usamos vectores?