¿Por qué el par se define como r×Fr×Fr × F y no F×rF×rF × r?

El par está asociado al momento angular ($L$) a través de$\tau=\frac{dL}{dt}$. El momento angular está, por supuesto, asociado con la velocidad angular ($\omega$) a través de$L=I\omega$. Esto significa que si usamos$F\times r$, necesitaríamos poner un signo menos en una de esas definiciones o cambiar la dirección de la velocidad angular. Nadie quiere poner un signo menos donde no se necesita, así que podemos ignorar ese caso y centrarnos en la idea de que la velocidad angular está en una dirección diferente.

La velocidad angular es, por supuesto$\omega = \frac{d\theta}{dt}$. Tampoco queremos un signo menos aquí, por lo que la forma en que definimos$\theta$tendría que cambiar de dirección.

Y aquí es, de hecho, arbitrario. Los matemáticos definen coordenadas polares tales que el eje x positivo se asigna a$\theta = 0$y el eje y positivo se asigna a$\theta=\frac{\pi}{2}$. Podrían haber elegido una convención diferente, pero esta es la que de hecho fue elegida. Según tengo entendido, ¡esa convención fue elegida por los astrónomos indios hace unos 2300 años!

La única opción que no mencioné aquí fue cambiar el significado de producto cruzado. El producto cruz fue inventado en 1773 por Joseph Louis Lagrange para estudiar los tetraedros. No puedo encontrar más enlaces, por lo que podría ser donde se tomó una decisión arbitraria.

Un par de cosas a considerar primero.

1. Depende de la definición de$\boldsymbol{r}$. Si$\boldsymbol{r}$apunta a la fuerza entonces el momento es$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, pero si apunta al punto de medición (como el origen) es$\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}$.

2. Hay una convención construida en el$\times$operador. Tiene que ver con la regla de la mano derecha y el hecho de que no tiene la propiedad conmutativa. Esto significa que$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = -(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}) = (-\boldsymbol{F}) \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{F} \times (-\boldsymbol{r})$. Esto significa que el par puede interpretarse como el momento de la fuerza que actúa en una línea alejada del origen, y el orden en el que se toma el producto cruzado vectorial es importante.

3. Hay una definición de simetría entre el par, el momento angular y la velocidad lineal.

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{\omega} & & \text{velocity transformation} \\ \boldsymbol{L}_A & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{p}& & \text{momentum transformation} \\ \boldsymbol{M}_A & = \boldsymbol{M}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{F}& & \text{torque transformation} \end{aligned}$$

   Combinado con los otros dos puntos anteriores, habla de la geometría del problema en cuestión, como todas las cantidades (rotación$\boldsymbol{\omega}$), (impulso$\boldsymbol{p}$) y (fuerza$\boldsymbol{F}$) existen en una línea en el espacio. Se denomina eje de rotación, eje de percusión y línea de acción (respectivamente).

   Además, vea esta respuesta a una pregunta muy similar.

En resumen, para que las matemáticas funcionen y la física sea consistente, el producto cruzado debe definirse con la regla de la mano derecha o la regla de la mano izquierda y las ecuaciones para el par, el momento angular y la velocidad lineal deben describirse de manera consistente. con la mano elegida. Finalmente, asegúrese de que sus vectores de ubicación$\boldsymbol{r}$se definen consistentemente (como si se originaran a partir de un punto común, el origen).

Es una convención arbitraria. Si cambiamos la convención, hay algunas otras que también tendríamos que cambiar, como$\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{p}$para el momento angular de una partícula.

Tal vez podamos hacer una comparación rápida de ambos.

Definamos el par$\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F$. Consideremos más a fondo$\boldsymbol r$y$\boldsymbol F$acostado en un avión y$\boldsymbol M$hacia arriba. El valor absoluto de$\boldsymbol M$se convierte$M=r\cdot F\cdot \sin\theta$con$r=|\boldsymbol r|$,$F=|\boldsymbol F|$,$M=|\boldsymbol M|$, y$\theta$el ángulo entre$\boldsymbol r$y$\boldsymbol F$. ahora usamos$\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F = -\boldsymbol r \times \boldsymbol F$y darse cuenta de que$M$permanece sin cambios.

Definamos ahora el torque como$\boldsymbol M = \boldsymbol F \times \boldsymbol r$. De nuevo,$\boldsymbol M$está mirando hacia arriba desde el avión. Y otra vez,$M$tiene el mismo valor que antes.

¿Qué aprendemos de esto? El orden no importa. Es solo una convención. Si desea utilizar otra convención, no dude en hacerlo, ¡pero asegúrese de ser coherente!

no se la explicacion correcta pero creo que$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$significa que el$\boldsymbol{r}$El vector gira debido a la$\boldsymbol{F}$vector. Para producir el mismo resultado de un tornillo que sale cuando aplicamos una fuerza, esta es la dirección del par, mientras que$\boldsymbol{F}\times \boldsymbol{r}$significará que el$\boldsymbol{F}$El vector gira debido a la$\boldsymbol{r}$vector, que sería el sentido contrario al que sale el tornillo (hacia abajo).