¿Cómo entender la ambigüedad de la resolución vectorial?

Como lo señalan los comentarios, una de sus ecuaciones es incorrecta ya que asume que la lenteja no acelera verticalmente en el punto más alto. Aunque este no es realmente el objetivo principal de su pregunta, primero trabajemos con las ecuaciones correctas solo para que podamos solucionarlo.

Radialmente, tenemos una aceleración centrípeta, así que a lo largo de la fuerza de tensión tenemos

Verticalmente, tenemos algo de aceleración.$a_y$tal que

A la altura máxima$a_y\neq0$, entonces$mg=T\cos\theta$no aguanta aquí. Sin embargo, será válido en algún punto entre las alturas máxima y mínima, ya que la aceleración vertical tiene que cambiar de signo en algún momento durante ese tiempo.

Ahora vamos a llegar a su problema conceptual.

¿Cómo sé cuál considerar? Porque ambos tienen el mismo sentido.

¡Tienes razón! Ambas son ecuaciones válidas. Lo que quieras usar depende de lo que estés viendo. El hecho de que una ecuación sea válida no significa que sea útil. Por ejemplo, aquí se conserva la energía, por lo que también podríamos tener una ecuación válida que relacione la velocidad máxima de la lenteja con su altura máxima sobre su punto más bajo (suponiendo que no esté dando vueltas completas alrededor del punto de pivote)

pero si no nos importa la velocidad máxima o la altura máxima entonces esta ecuación no nos sirve de mucho.

Entonces, si te preocupa la aceleración centrípeta, tal vez vayas con esa ecuación. Si quieres ver el movimiento vertical, quizás mires ese. Muchas ecuaciones pueden ser válidas para un aspecto de un sistema; necesita aprender qué ecuaciones son útiles para lo que quiere hacer. Tenga en cuenta también la contrapositiva: el hecho de que una ecuación no sea útil no significa que sea incorrecta; esto es algo con lo que veo que los nuevos estudiantes de física luchan mucho.

La segunda ley de Newton es$\vec{F} = m \vec{a}$. En términos de componentes vectoriales, esto se convierte en

En el presente caso, podemos elegir nuestros ejes para que el$x$-puntos del eje a lo largo del arco que describirá la lenteja, y el$y$-puntos del eje a lo largo de la cuerda. Como estamos en el punto más alto de la oscilación, no hay aceleración centrípeta; por lo que la aceleración$\vec{a}$estará en el$x$-solo dirección, con$a_y = 0$y$a_x = a$. Entonces las ecuaciones se convierten en

Pero es importante tener en cuenta que elegir diferentes ejes no está mal , per se; simplemente hace que el álgebra sea más difícil. Por ejemplo, suponga que elige ejes horizontales y verticales en su lugar. En este caso, tendrías$a_x = a \cos \theta$&$a_y = - a \sin \theta$, y la Segunda Ley de Newton sería (en estas componentes)

El mg sin(θ) produce un par que provoca una aceleración angular. El T - mg cos(θ) no es cero. Debe proporcionar una aceleración centrípeta. El mg – T cos(θ) da una componente descendente de aceleración.