Tengo un hamiltoniano simple de 4 estados y estoy tratando de encontrar la representación de la matriz (para determinar los valores propios de energía para el sistema); sin embargo, sigo terminando con la matriz incorrecta, por lo que agradecería alguna ayuda para detectar qué concepto estoy malinterpretando.
Tenemos que el hamiltoniano viene dado por:
H^=∑norte = 14mi0| norte ⟩ ⟨ norte | +∑norte = 14W{ | norte ⟩ ⟨ norte + 1 | + | norte + 1 ⟩ ⟨ norte | − | 2 ⟩ ⟨ 3 | − | 3 ⟩ ⟨ 2 | }
Usando la distributividad de la suma sobre el espacio formado por el producto tensorialC4⊗C4
, tenemos que esto puede ser escrito por:
H^=mi0∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte | +W{∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte + 1 | +∑norte = 14| norte + 1 ⟩ ⟨ norte | −∑norte = 14| 2 ⟩ ⟨ 3 | −∑norte = 14| 3 ⟩ ⟨ 2 | }
Podemos reducir aún más esto observando que:∑4norte = 1k = 4 k
,∀ k ∈C4⊗C4
, y por lo tanto:
H^=mi0∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte | +W∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte + 1 | +W∑norte = 14| norte + 1 ⟩ ⟨ norte | −4vatios| 2 ⟩ ⟨ 3 | −4vatios| 3 ⟩ ⟨ 2 |
Si trabajamos en el espacio donde:
| norte ⟩ = {mi^norte0norte ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 }norte ∉ { 1 , 2 , 3 , 4 }
Entonces nosotros tenemos:
∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte | =I4 × 4∧| 2 ⟩ ⟨ 3 | =⎛⎝⎜⎜⎜0000000001000000⎞⎠⎟⎟⎟∧| 3 ⟩ ⟨ 2 | =⎛⎝⎜⎜⎜0000001000000000⎞⎠⎟⎟⎟
Y:
∑norte = 14| norte ⟩ ⟨ norte + 1 | =⎛⎝⎜⎜⎜0000100001000010⎞⎠⎟⎟⎟∧∑norte = 14| norte + 1 ⟩ ⟨ norte | =⎛⎝⎜⎜⎜0100001000010000⎞⎠⎟⎟⎟
Así tenemos:
H^=mi0I4 × 4+⎛⎝⎜⎜⎜0000W0000W0000W0⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜0W0000W0000W0000⎞⎠⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜0000004 vatios004 vatios000000⎞⎠⎟⎟⎟
Ampliando tenemos:
H^=⎛⎝⎜⎜⎜mi0W00Wmi0− 3 vatios00− 3 vatiosmi0W00Wmi0⎞⎠⎟⎟⎟
Lo cual es incorrecto, ya que sé que los valores propios son{mi0± ancho}
, y el hamiltoniano se puede escribir en forma matricial como:
H^=⎛⎝⎜⎜⎜mi0W00Wmi00000mi0W00Wmi0⎞⎠⎟⎟⎟
Sin embargo, no estoy seguro de dónde he cometido mi error, ¿cada paso me parece válido?