Problema en la comprensión de la notación de la amplitud de dispersión

La ecuación de Schrödinger:

$$i \frac{d}{d t}\left|\psi_{t}\right\rangle=H\left|\psi_{t}\right\rangle$$ y las soluciones vienen dadas por
$$\left|\psi_{t}\right\rangle=U(t)|\psi_\text{in}\rangle \equiv e^{-\imath H t}|\psi_\text{in}\rangle$$

En el experimento de dispersión estamos interesados ​​en la solución con la siguiente condición asintótica

$$\begin{gathered} U(t)|\psi\rangle \underset{t \rightarrow-\infty}{\longrightarrow} U^{0}(t)\left|\alpha\right\rangle \\ \qquad \qquad \underset{t \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} U^{0}(t)\left|\beta\right\rangle \end{gathered}$$ dónde$U^0(t)=e^{-\imath H_0 t}$con$H_0$el hamiltoniano de una teoría libre.

De la expresión anterior podemos demostrar que

$$|\psi_\text{in}\rangle=\lim _{t \rightarrow-\infty} U(t)^{\dagger} U^{0}(t)\left|\alpha\right\rangle \equiv \Omega_{-}\left|\alpha \right\rangle$$ y $$|\psi_\text{in}\rangle=\lim _{t \rightarrow+\infty} U(t)^{\dagger} U^{0}(t)\left|\beta\right\rangle \equiv \Omega_{+}\left|\beta\right\rangle$$

Nos interesa la probabilidad de que una partícula que entró en colisión con en asíntota$|\phi\rangle$se observará emerger sin asíntota$|\chi\rangle .$Para evaluar esta probabilidad observamos que el estado real en$t=0$, que evolucionará a partir de la asíntota en$|\phi\rangle$es$|\phi_\text{in}\rangle=\Omega_{-}|\phi\rangle$, mientras que el estado real en$t=0$, que evolucionaría hacia la asíntota out$|\chi\rangle$es$|\chi_ \text{out} \rangle=\Omega_{+}|\chi\rangle .$

Esta probabilidad está dada por

$$\begin{aligned} w(\chi \leftarrow \phi) &=|\langle\chi(t) \mid \phi(t)\rangle|^{2} \\ &=|\langle\chi_\text{out}\mid \phi_\text{in}\rangle|^{2} \\ &=\left|\left\langle\chi\left|\Omega_{-}^{\dagger} \Omega_{+}\right| \phi\right\rangle\right|^{2} \\ &=|\langle\chi|S| \phi\rangle|^{2} \end{aligned}$$

Ahora, en estas notas de Teoría cuántica de campos de Mark Srednicki en la página 51, tienen que la Amplitud de dispersión desde un estado inicial$\mid i\rangle$a un estado final$\mid f\rangle$es dado por

$$\langle f \mid i\rangle=\left\langle 0\left|a_{1^{\prime}}(+\infty) a_{2^{\prime}}(+\infty) a_{1}^{\dagger}(-\infty) a_{2}^{\dagger}(-\infty)\right| 0\right\rangle \tag{5.13}$$

De la expresión$(5.13)$por ejemplo, si el estado inicial es ortogonal al estado final, la amplitud de dispersión es cero.

Mi pregunta es si esta amplitud de dispersión no debe estar dada por$\langle f \mid S\mid i\rangle$dónde$S$es el$S$¿matriz?