Pregunta ingenua sobre la matriz S

Su segunda ecuación es una mala interpretación de la notación en su primera ecuación.$|q_1,q_2\rangle$no es un vector en un espacio vectorial de dimensión finita, que tiene componentes$q_1$y$q_2$en alguna base. Bastante$|q_1,q_2\rangle$y$|p_1,p_2,p_3\rangle$son ambos vectores en el mismo espacio de Hilbert de dimensión infinita.

En el caso más simple, en el que todas las partículas son bosones de la misma especie, este espacio de Hilbert se genera mediante la siguiente colección de vectores 'in'.

1. $|0\rangle$-- un solo vector de norma unitaria, que representa el estado sin partículas entrantes.
2. $|p\rangle$-- un vector unitario para cada impulso$p$. Si$p'$y$p'$son momentos diferentes, entonces$|p\rangle \neq |p'\rangle$. Estos vectores son estados en los que tenemos precisamente una partícula que viene del pasado infinito con un momento fijo.
3. $|p_1,p_2\rangle$-- un vector unitario para cada par$(p_1,p_2)$de momentos.$|p_1,p_2\rangle$no es$|p_1',p_2'\rangle$a menos que$p_1 = p_1'$y$p_2=p_2'$o$p_1 = p_2'$y$p_2=p_1'$. Estos son estados en los que tenemos dos partículas que vienen del infinito pasado.
4. $|p_1,p_2,p_3\rangle$-- un vector unitario para cada triplete$(p_1,p_2,p_3)$. Estos vectores solo son iguales entre sí si sus etiquetas$(p_1,p_2,p_3)$son permutaciones entre sí.
5. ...

Esta es una base continua, lo que puede parecer un poco raro si estás acostumbrado a espacios vectoriales de dimensión finita. Las sumas finitas se reemplazan por la suma sobre el número de partículas y las integrales sobre las etiquetas de momento.

Hay una base similar$|0\rangle, \{|q\rangle\}, \{|q_1,q_2\rangle\},..$de vectores 'fuera', donde ahora nuestro impulso etiqueta estados de acuerdo con el número de partículas en el infinito futuro con impulsos fijos.

La matriz S es el cambio de los coeficientes de base para cambiar de la base interna a la base externa.

El espacio de Hilbert de la teoría$\cal H$se puede ver simultáneamente como un espacio Fock de dos maneras diferentes :

$${\cal H} = {\cal F}_{symm}(K_{in}) = {\cal F}_{symm}(K_{out})\:.$$ Dónde $K_{in}$y $K_{out}$son el espacio de una partícula de partículas libres entrantes y salientes y asumo que las partículas son bosones en aras de la simplicidad. Arriba: $${\cal F}_{symm}(K) = {\mathbb C}\oplus K \oplus (K\otimes K)_{symm} \oplus (K\otimes K\otimes K)_{symm}\oplus \cdots$$

El punto es ahora que, en general$K_{in}$incluyen no sólo vectores de$K_{out}$, pero incluso de$(K_{out}\otimes K_{out})_{symm}$,$(K_{out}\otimes K_{out}\otimes K_{out})_{symm}$, etcétera. En otras palabras, es falso que, por ejemplo$K_{in} \not\perp (K_{out}\otimes \cdots (k \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$para$k>1$.

Esta es la traducción matemática del hecho de que una partícula libre entrante, en el pasado asintótico (cuando las interacciones están apagadas), debido a interacciones en tiempo finito, puede dar lugar a muchas partículas libres en el futuro asintótico (cuando las interacciones están apagadas). nuevamente apagado). En general, el número de partículas no se conserva debido a las interacciones que pasan de$t=-\infty$a$t=+\infty$.

En general, para todo valor de$n$y$m$:

$(K_{in}\otimes \cdots (n \:times)\cdots \otimes K_{in})_{symm} \not\perp (K_{out}\otimes \cdots (m \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$.

Estas relaciones se pueden escribir usando vectores:

$$\langle\psi^{(out)}_{1}\cdots \psi^{(out)}_{m}| \psi^{(in)}_{1}\cdots \psi^{(in)}_{n}\rangle \neq 0 \quad \mbox{for generic $n\neq m$,}$$

donde, por ejemplo

$$|\psi^{(out)}_{1}\cdots \psi^{(out)}_{m}\rangle \in (K_{out}\otimes \cdots (m \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$$

es el estado simetrizado genérico hecho de$m$partículas salientes con estados individuales$\psi^{(out)}_{1},\cdots, \psi^{(out)}_{m}\in K_{out}$, no necesariamente diferentes por pares.

Lo que parece estar pensando es en la contribución "principal" a la amplitud, donde cada partícula interna va a una partícula externa sin interactuar. Esto sucede en cualquier teoría libre/lineal de ondas que se cruzan entre sí sin interactuar.

Lo que nos interesa es el$T$matriz en$S = \mathbf{1} + i T$mientras hablas de la contribución de la$\mathbf{1}$. Imagine una "interacción" simple donde una partícula se descompone en un par de partículas. Tal aspecto de la teoría (entre otras posibilidades) contribuirá a la$T$matriz y le dan amplitudes distintas de cero incluso cuando el número de partículas cambia (tal vez aumenta en uno).

Dicho de otro modo, no hay ninguna razón por la que el número de partículas deba conservarse en un proceso, excepto quizás en casos especiales. ¿Puedes pensar en alguna simetría que pueda implicar tal cantidad conservada?

---

Matemáticamente, en la perspectiva de estados en un espacio de Hilbert:

Sin entrar en cuestiones profundas sobre la "existencia" de un espacio de Hilbert para una teoría interactiva (que no sé lo suficiente como para comentar)... Para una teoría interactiva, el espacio de estados es el espacio de Fock$\mathcal{H} = \oplus H_n$dónde$H_n$es el espacio de Hilbert de n partículas. Cada uno de esos estados se puede denotar por sus números cuánticos bajo simetrías de la teoría (teoría de la representación).

$\langle q_1, q_2 | p_1, p_2 ,p_3 \rangle$no es como$(q_1, q_2) \cdot (p_1, p_2, p_3)$. Deberías pensar en ello como un producto interno de algunos dos estados.$\langle \Psi_2 | \Psi_3 \rangle$.$|\Psi_2 \rangle$pasa a ser un cierto estado en el espacio de Fock, parametrizado por los dos números cuánticos$q_1 , q_2$(Interpretación similar para$|\Psi_3 \rangle$). Cada uno de ellos son estados en un espacio vectorial/Hilbert/Fock de dimensión infinita cuyos grados de libertad pueden considerarse como excitaciones en cada punto espacial, para cada campo en la teoría.