Fórmula de reducción LSZ para campos libres

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Fórmula de reducción LSZ para campos libres

Física
espacio de hilbert
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

kris caminante

Estoy leyendo la sección sobre la fórmula de reducción LSZ en el libro QFT de Schwartz y habla sobre la acción de los campos libres en la fórmula. Específicamente dice (sec. 6.1.1, p. 73):

La reducción LSZ dice que para calcular un elemento de matriz S, multiplique el producto de campos ordenado por tiempo por algunos $\square + m^2$ Factores y transformada de Fourier. Si los campos $\phi(x)$ fueran campos libres, satisfarían $(\square + m^2)\phi(x)=0$ y así el $(\square_i + m^2)$ los términos darían cero. Sin embargo, como veremos, al calcular amplitudes, habrá factores de propagadores $\frac{1}{\square + m^2}$ para los estados de una partícula. Estos explotan como $(\square + m^2)\rightarrow 0$ . La fórmula LSZ garantiza que los ceros e infinitos en estos términos se cancelen, dejando un resultado distinto de cero.

Él habla de la $\square+m^2$ términos dar cero así es algo malo, pero ¿no es eso lo que queremos? Si los campos son campos libres entonces el $S$ -matriz será simplemente la identidad y por lo tanto el elemento de la matriz se desvanecerá,

⟨ F | S | i ⟩ = ⟨ F | i ⟩ = 0,

$\langle f|S|i\rangle=\langle f|i\rangle=0,$ para distintos estados asintóticos inicial y final. Entonces, ¿por qué querríamos que esos términos en la fórmula LSZ no fueran cero para campos libres?

Como referencia, la forma de la fórmula LSZ a la que se refiere Schwartz es

⟨ F | S | i ⟩ = [i \int d^{4} X_{1} {mi}^{- i {pag}_{1} X_{1}} (◻_{1} + {metro}^{2})] \dots [i \int d^{4} X_{norte} {mi}^{i {pag}_{norte} X_{norte}} (◻_{norte} + {metro}^{2})] ⟨ Ω | T {ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte})} | Ω ⟩ .

$\langle f|S|i\rangle=\left[i\int\mathrm{d}^4x_1\,e^{-ip_1x_1}(\square_1+m^2)\right]\cdots\left[i\int\mathrm{d}^4x_n\,e^{ip_nx_n}(\square_n+m^2)\right]\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rangle.$

Respuestas (1)

Fórmula de reducción LSZ para campos libres

jkb1603 · Answer 1

Si la matriz S es cero (o en realidad $1$ , desde $S = 1 + iT$ , por lo que debería decir más correctamente decir "si la matriz T es cero"), entonces la equivalencia de la teoría correspondiente no interactúa. Sin embargo, si activa una interacción, espera que haya algo de dispersión, observable en un colisionador de partículas, por ejemplo, espera que la $T$ -matrix para tener algún elemento de matriz distinto de cero.
Para aclarar: la fórmula LSZ da cero para una teoría de campo libre, pero una vez que activa una interacción, este ya no es el caso, los campos $\phi$ en su función de Verdes $\langle \Omega |T\phi(x_1)...\phi(x_n) |\Omega \rangle$ entonces no son campos libres. De hecho, esas funciones de Green resultan ser divergentes, a través de un polo simple, en el límite físico en el caparazón. $p^2 \rightarrow m^2$ (o equivalente $\Box^2 + m^2 \rightarrow 0$ en el espacio de posición) y estos polos se cancelan exactamente en la fórmula, dejando solo el coeficiente de esos polos, que es su amplitud de dispersión.

Correcto, entiendo por qué, para una teoría interactiva, la fórmula LSZ dará un elemento de matriz distinto de cero. Mi confusión es por qué Schwartz afirma que todavía no es cero para un campo libre (debido a los términos del propagador que aparecen) cuando debería, como dijiste, dar cero.
Lo siento, no veo dónde se indica que debe ser distinto de cero para los campos libres. Él declara explícitamente en su cita que la matriz se desvanecerá por las ecuaciones de movimiento en el caso libre, ¿no?
Bueno, si lo estoy leyendo correctamente, está diciendo que los campos libres normalmente darían $(\square_i+m^2)\phi(x)=0$ , sin embargo $\frac{1}{\square_i+m^2}$ los términos aparecen durante el cálculo que explotan y "cancelan" dichos ceros, dando un resultado distinto de cero al final.
Oh, creo que quiere decir que estos términos aparecen solo para el caso de interacción.
Bueno, mierda, jaja, si ese es el caso, entonces perdí mucho tiempo golpeándome la cabeza con esto. Aunque, ¿por qué habría ceros en el caso de interacción? ¿Se corresponderían con los estados asintóticos?
Me refiero a los ceros a los que se refiere en la última oración: "La fórmula LSZ garantiza que los ceros y los infinitos en estos términos se cancelen, dejando un resultado distinto de cero".
ah Probablemente sepas que los infinitos son términos $\frac{1}{p^2-m^2}$ que aparecen en el espacio de cantidad de movimiento Función de Green para cada lado externo ( $\frac{1}{\Box + m^2}$ en posición espacio), donde $m$ es la masa física de la partícula, son divergentes en el límite en la capa $p^2 \rightarrow m^2$ . Creo que los ceros se refieren a los términos $p^2 - m^2$ (o $\Box + m^2$ en posición espacio) en la fórmula LSZ. En otras palabras, los infinitos están en la función de Green y los ceros están en el prefactor que multiplica la función de Green en la fórmula LSZ, y estos se cancelan entre sí para dar un resultado finito.

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