Problema del cohete "Suicide Burn" [cerrado]

Hay una respuesta aceptada; No me gusta mucho, así que tomaré un golpe.

Supongamos que al principio no conoce bien la masa vacía del vehículo, la cantidad de combustible en los tanques de combustible, el impulso específico o la tasa de flujo másico. (Es mejor que la masa vacía del vehículo sea una muy buena estimación. De lo contrario, estamos fritos). El espacio tiene un altímetro de radar que mide el alcance y la tasa de alcance. Estas medidas son, por supuesto, mentiras. Son ruidosos y pueden estar sesgados.

Esto significa que necesitamos un filtro Kalman que pueda, con el tiempo, mejorar nuestro conocimiento de la masa del vehículo, la masa del combustible, el caudal másico, el impulso específico, la altura y la velocidad. Este filtro Kalman es el núcleo del sistema de navegación de la nave espacial. Solo actualiza la masa del vehículo, la masa de combustible, la tasa de flujo másico y el impulso específico cuando el vehículo está disparando sus propulsores. Actualiza la altura y la velocidad todo el tiempo.

También necesitamos un sistema de orientación. El control óptimo en este caso es un control bang-bang. El vehículo cae balísticamente por un momento (motores apagados) y luego enciende los motores. Luego, los motores disparan continuamente hasta que el vehículo toca el suelo a una velocidad relativa cero. Apagado, encendido, apagado. Bang-bang.

¿Cómo saber dónde está ese punto mágico en el tiempo donde los propulsores cambian de apagado a encendido? Simple: Necesitamos un propagador. Propague hacia adelante en el tiempo suponiendo que los propulsores estén encendidos ahora, y permanezca encendido hasta que el vehículo golpee el suelo o se detenga con respecto al suelo. Las ecuaciones diferenciales son fáciles de escribir:

Ningún sistema de control realista utiliza un control óptimo puro. El control óptimo no deja espacio para errores y siempre necesita espacio para errores. Los sensores mienten, el filtro de Kalman miente, todo miente. Necesitamos una banda muerta. En este caso, la banda muerta viene dada por la velocidad que el vehículo y su contenido (incluidos los humanos) pueden tolerar en contacto con el suelo. Si el vehículo está disparando sus propulsores hasta el suelo, pero la velocidad en contacto con el suelo es menor que este límite en el punto de contacto con el suelo, está bien. Si el vehículo alcanza una velocidad cero en algún punto sobre el suelo y luego cae balísticamente y golpea con una velocidad inferior a este límite, también está bien.

Hay dos casos en los que esto no está bien. Un caso ocurre cuando el vehículo tiene que disparar sus propulsores hasta el suelo y la velocidad en contacto con el suelo es demasiado alta. Ese es el modo de bloqueo y grabación. No es bueno. El otro caso ocurre cuando el punto de velocidad relativa cero está muy por encima del suelo. Abordar eso es simple: no empieces a disparar todavía. Quédate en modo balístico.

Necesitamos moderar un poco la banda muerta en función de las incertidumbres en las estimaciones de la masa seca del vehículo, la masa del combustible, el caudal másico, el impulso específico, la altura y la velocidad. Cuando comenzamos, queremos una estimación demasiado alta de la masa del combustible y estimaciones demasiado bajas del impulso específico y la tasa de flujo másico. Esto obligará al sistema de guía y control a comenzar a disparar un poco antes de lo que debería. (Comenzar la quema tarde no es una buena opción. Eso da como resultado un modo de choque y quema). El filtro pronto llegará a mejores estimaciones de las masas, la tasa de flujo y el impulso específico. La guía y el control harán que el vehículo (temporalmente) deje de disparar. Enjuague y repita, pero siempre sea un poco conservador. Es mejor disparar un poco antes y desperdiciar algo de combustible que disparar tarde y entrar en el modo de choque y quemado.

Asumiré que caes perfectamente vertical y que el cuerpo celeste no gira.

Si supone que la masa del cohete se mantiene constante, entonces puede encontrar cuándo comenzar con la quema suicida usando la inversión de tiempo . Es decir, usted "comienza" la superficie con la velocidad final deseada,$v_f$, y empuje hacia arriba hasta que su energía orbital (específica) coincida con la de su trayectoria actual. Puede simular esto como una función del tiempo, sin embargo, en este caso será más fácil usar la conservación de la energía,

dónde$\mu$es el parámetro gravitatorio del cuerpo celeste,$R_f$el radio final (de la superficie) en relación con el centro de masa del cuerpo celeste,$h$la altitud sobre la superficie a la que debe iniciar la quemadura suicida,$F$la cantidad de empuje que el cohete puede proporcionar,$m$la masa del cohete,$v_i$la velocidad inicial del cohete y$R_i$el radio inicial del cohete en relación con el centro de masa del cuerpo celeste.

Para encontrar el tiempo,$T$, se tarda en realizar este quemado tendrás que calcular la integral,

sin embargo, no existe una solución general para esto, por lo que deberá calcularse numéricamente. El usado$\Delta v$se puede encontrar con$\Delta v = \frac{F}{m}T$.

Si desea tener en cuenta la masa variable del cohete, también puede usar la inversión de tiempo y "comenzar" en su radio y velocidad finales y retroceder en el tiempo, hasta que su energía orbital específica coincida con la de su trayectoria inicial. Para esto, inicialmente deberá adivinar cuál será su masa final, de modo que al comienzo de su quema su masa total sea igual a$m$.