Comprensión de la fórmula mv2/2mv2/2m v^2/2 para la energía cinética

Question

Comprensión de la fórmula mv2/2mv2/2m v^2/2 para la energía cinética

Pedro Franek

Tengo un problema para comprender intuitivamente por qué la energía cinética crece cuadráticamente con la velocidad (al menos en el caso no relativista).

Supongamos el siguiente experimento: lanzamos una nave espacial no tripulada desde un asteroide, dejamos que acelere el tiempo $T$ en una dirección y luego en el tiempo $2T$ en la dirección hacia atrás; así, con el tiempo $2T$ tiene velocidad cero y en $3T$ , debe estar en la misma posición que en el tiempo $T$ , justo con velocidad opuesta. Luego lo dejamos volar libremente hasta que choca contra el asteroide y supongamos que toda la energía cinética se transforma en calor.

Repita el mismo experimento con $T$ reemplazado por $\lambda T$ ; la velocidad final sera $\lambda$ veces más grande y usamos $\lambda$ -veces tanto combustible para las aceleraciones. Pero esto difícilmente se puede convertir en $\lambda^2$ -veces la energía.

¿La solución se esconde en el hecho de que el propio combustible tiene un peso no despreciable?

Raskolnikov

Sí, el peso definitivamente no es despreciable. La relación entre la velocidad terminal y la cantidad de combustible no será lineal como supone.

Pedro Franek

@Qmechanic Ok, solo me preguntaba dónde está el principal error en el experimento virtual que propuse; es despreciar el peso del combustible, o tambien algo mas? Gracias

Jorge Herold

Un ejemplo confuso. ¿Qué tal si calculas la energía cuando lo dejas caer desde una altura conocida en un campo de gravedad constante?

Sofía

@Peter: No va lineal, ni cuadráticamente, véase para un tratamiento riguroso del problema la ley de Tsiolkovsky sobre la velocidad del cohete frente al consumo de combustible. es.wikipedia.org/wiki/…

Jim

Este es un experimento mental demasiado complicado. Descuidando las complejidades de la ciencia espacial adecuada, si aumenta la velocidad no relativista de un objeto por un factor de

λ

$\lambda$ , entonces aumentas su energía cinética por un factor de

λ^{2}

$\lambda^2$

Respuestas (2)

Comprensión de la fórmula mv2/2mv2/2m v^2/2 para la energía cinética

Sí, el peso definitivamente no es despreciable. La relación entre la velocidad terminal y la cantidad de combustible no será lineal como supone.
@Qmechanic Ok, solo me preguntaba dónde está el principal error en el experimento virtual que propuse; es despreciar el peso del combustible, o tambien algo mas? Gracias
Un ejemplo confuso. ¿Qué tal si calculas la energía cuando lo dejas caer desde una altura conocida en un campo de gravedad constante?
@Peter: No va lineal, ni cuadráticamente, véase para un tratamiento riguroso del problema la ley de Tsiolkovsky sobre la velocidad del cohete frente al consumo de combustible. es.wikipedia.org/wiki/…
Este es un experimento mental demasiado complicado. Descuidando las complejidades de la ciencia espacial adecuada, si aumenta la velocidad no relativista de un objeto por un factor de $\lambda$ , entonces aumentas su energía cinética por un factor de $\lambda^2$

Sofía · Answer 1

Veamos las cosas paso a paso, desde la conservación del momento lineal. Por supuesto, el tratamiento riguroso es por la ley de Tsiolkovsky. Aquí estoy diciendo algo menos riguroso pero intuitivo.

Para aumentar la velocidad de cero a $\Delta V$ consumes una masa de combustible $\Delta m$ . Cuando digo desde cero , quiero decir que considero una serie discreta de consumos rápidos de combustible. En tal evento de consumo, en el marco de referencia del cohete su velocidad es cero, y queremos adquirir una velocidad $\Delta V$ . Entonces, la conservación de la cantidad de movimiento dice

Δ metro . v = (METRO - Δ metro) Δ V

$\Delta {m} .v = (M - \Delta m)\Delta V$

\frac{Δ metro v^{2} + METRO (Δ V)^{2}}{2} = {mi}_{Δ metro}

$\dfrac{{Δm v^2} + {M (ΔV)^2}}{2} = E_{Δm}$

dónde $M$ es la masa del cohete antes de consumir $Δm$ de combustible, $v$ es la velocidad del gas expulsado, y $E_{Δm}$ es la energía que $Δm$ de combustible puede liberarse. Usemos valores absolutos para las velocidades, para no llevar en todas las fórmulas el menos causado por la dirección opuesta de las velocidades del cohete y del gas.

De este modo,

v = \frac{(METRO - Δ metro) Δ V}{Δ metro},

$v = \dfrac{(M - Δm)ΔV}{Δm},$ y

(Δ V)^{2} = \frac{2 {mi}_{Δ metro}}{[{METRO}^{2} / Δ metro - (METRO - Δ metro)]},

$(ΔV)^2 = \dfrac{2E_{Δm}}{ [M^2/Δm - (M - Δm)]} ,$

a partir del cual

Δ V = \sqrt{\frac{2 {mi}_{Δ metro}}{[{METRO}^{2} / Δ metro - (METRO - Δ metro)]}} .

$ΔV = \sqrt{\dfrac{2E_{Δm}}{ [M^2/Δm - (M - Δm)]}} .$

Entonces, incluso en mi tratamiento no riguroso, la velocidad y la cantidad de combustible quemado no están en una relación lineal.

Espero que ayude.

TazónDeRojo · Answer 2

Tienes un par de problemas en tu ejemplo.

La primera es que su ejemplo realmente no tiene velocidad en absoluto. Está preguntando sobre la relación cuadrática de la velocidad con la energía, y su ejemplo habla sobre el tiempo y el combustible, no sobre la velocidad.

Eso significa que su otro problema es que está asumiendo que un motor de cohete aumenta la energía cinética de la nave espacial en una relación lineal con el tiempo que se quema. Desafortunadamente, no es así.

Los cohetes proporcionan un empuje constante, no una potencia constante. La energía proporcionada por un cohete viene dada por el viejo modo de espera: $W = F \times d$ . Dividiendo ambos lados por el tiempo, vemos que

\frac{W}{t} = F \times \frac{d}{t}

$\frac{W}{t} = F \times \frac{d}{t}$

PAG = F \times v

$P = F \times v$

La potencia de un cohete (la velocidad a la que aumenta la energía cinética de un barco) depende de la velocidad. Esto significa que la energía de la nave es (aproximadamente) proporcional a $t^2$ de la quemadura, no $t$ .

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