Problema de índice en cambio de acción bajo traducción dependiente del espacio-tiempo

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Problema de índice en cambio de acción bajo traducción dependiente del espacio-tiempo

RenatoRenatoRenato

Tengo dos preguntas, y las abordaré mientras explico mi cálculo y mis incertidumbres, probablemente banales.

Básicamente estamos derivando el tensor Energía-Momento para un campo escalar del teorema de Noether de una manera similar a la expuesta en Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol I, pag. 311.

Considere la densidad lagrangiana de un campo escalar complejo:

L = - \partial^{m} ϕ^{*} \partial_{m} ϕ - {metro}^{2} ϕ ϕ^{*}

$\mathscr{L} \, =\, -\partial^{\mu} \phi^* \partial_{\mu} \phi - m^2 \phi \phi^*$

y la siguiente transformación

ϕ \to ϕ (X) - a^{m} (X) \partial_{m} ϕ (X) ϕ^{*} \to ϕ^{*} (X) - a_{m} (X) \partial^{m} ϕ^{*} (X)

$\phi \rightarrow \phi(x) - a^\mu (x) \partial_\mu\phi(x) \\ \phi^* \rightarrow \phi^*(x) - a_\mu (x) \partial^\mu\phi^*(x)$

Mi profesor escribe que, además de los términos proporcionales a $a$ (que todavía tengo que probarme a mí mismo dar $\eta^{\mu \nu} \mathscr{L}$ , con $\eta$ la métrica), la variación del Lagrangiano es

(\partial_{m} a_{v}) (\partial^{m} ϕ^{*} \partial^{v} ϕ + \partial^{v} ϕ^{*} \partial^{m} ϕ)

$(\partial_\mu a_\nu)(\partial^{\mu} \phi^* \partial^{\nu} \phi + \partial^{\nu} \phi^* \partial^{\mu} \phi)$

mientras obtengo

(\partial_{m} a^{v}) (\partial^{m} ϕ^{*} \partial_{v} ϕ) + (\partial^{m} a_{v}) (\partial^{v} ϕ^{*} \partial_{m} ϕ)

$(\partial_\mu a^\nu)(\partial^{\mu} \phi^* \partial_{\nu} \phi )\, + \, (\partial^\mu a_\nu) (\partial^{\nu} \phi^* \partial_{\mu} \phi)$

Siento firmemente que podrían ser lo mismo, pero no sé cómo jugar con los índices para llegar al mismo resultado. ¿Alguien puede ayudarme con esto? Esa era mi primera pregunta.

El segundo es acerca de que derivé ese resultado.

Siguiendo a Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol I, pág. 311, tengo que la variación del lagrangiano, bajo la transformación escrita arriba, es (variando $\phi$ y $\phi^*$ independientemente)

\frac{\partial L}{\partial ϕ} (- a^{v} \partial_{v} ϕ) - \frac{\partial L}{\partial ϕ^{*}} (a_{v} \partial^{v} ϕ) - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{m} (a^{v} \partial_{v} ϕ) - \frac{\partial L}{\partial (\partial^{m} ϕ^{*})} \partial^{m} (a_{v} \partial^{v} ϕ^{*})

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} (- a^\nu \partial_\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi^*} (a_\nu \partial^\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\mu (a^\nu \partial_\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial^\mu \phi^*)} \partial^\mu (a_\nu \partial^\nu \phi^*)$

Ahora tengo un problema con los últimos 2 términos, ¿por qué introducir el segundo y diferente índice? $\mu$ ? Simplemente no entiendo por qué tiene que ser un índice diferente, ¿alguien puede explicarme eso?

Respuestas (3)

Problema de índice en cambio de acción bajo traducción dependiente del espacio-tiempo

Emanuel · Answer 1

Primera respuesta: si $\eta$ es la métrica de Minkowski, entonces la derivada coordenada de la misma desaparece, es decir

\partial_{ρ} η_{m v} = 0.

$\partial_\rho\eta_{\mu\nu}=0.$ Por lo tanto, podemos subir y bajar los mismos índices, por ejemplo

\begin{aligned} (\partial_{m} a^{v}) (\partial^{m} ϕ^{*} \partial_{v} ϕ) & = (\partial_{m} (η^{v ρ} a_{ρ})) (\partial^{m} ϕ^{*} \partial_{v} ϕ) \\ = (\partial_{m} a_{ρ}) η^{v ρ} (\partial^{m} ϕ^{*} \partial_{v} ϕ) \\ = (\partial_{m} a_{ρ}) (\partial^{m} ϕ^{*} η^{v ρ} \partial_{v} ϕ) \\ = (\partial_{m} a_{ρ}) (\partial^{m} ϕ^{*} \partial^{ρ} ϕ), \end{aligned}

$\begin{align} (\partial_\mu a^\nu)(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)&=(\partial_\mu (\eta^{\nu\rho} a_\rho))(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)\eta^{\nu\rho}(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)(\partial^\mu\phi^\ast \eta^{\nu\rho} \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)(\partial^\mu\phi^\ast \partial^\rho\phi), \end{align}$ que es después de cambiar el nombre del índice repetido

ρ

$\rho$ a

ν

$\nu$ obtenemos la misma expresión.

Segunda respuesta: el índice de derivación debe ser siempre diferente al de Lagrangiano, porque de lo contrario perdemos información.

Gracias, ahora que me doy cuenta, usar la métrica era lo más obvio. ¿En qué sentido perdemos información? No creo que realmente lo esté entendiendo tanto física como matemáticamente.
@Runlikehell Supongamos el siguiente ejemplo: $\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi)}(\partial_\mu\phi)=1$ . Este es solo un resultado posible. Si, en cambio, calculamos esto con un índice diferente, obtenemos $\frac{\partial}{\partial(\partial_\nu \phi)}(\partial_\mu\phi)=\delta^\nu_\mu$ , que es más general que el primer caso. Parece que esto no es tan importante, pero puede jugar un papel crucial en muchos casos.

más rápido · Answer 2

En cuanto a su primera pregunta, por definición $a_\mu b^\mu = a_\mu b_\nu \eta^{\mu \nu} = a^\mu b_\mu$ , dónde $\eta$ es la métrica -> por lo tanto, siempre puede cambiar los índices hacia arriba o hacia abajo si los suma.

Con respecto a su segunda pregunta, expresiones de la forma $a_\nu \partial^\nu$ puede considerarse como un escalar. Solo necesita introducir un índice adicional si desea tomar más derivados direccionales...

Gracias, ahora que me doy cuenta, usar la métrica era lo más obvio, ¿podría elaborar más la segunda respuesta? No estoy tan seguro de haberlo entendido, en cambio, estoy bastante seguro de que no lo estoy recibiendo.

Stuckelberator · Answer 3

¿Puedo añadir también que $\eta^{\nu\rho}\eta_{\nu\sigma}=\eta^{\rho\nu}\eta_{\nu\sigma}=\delta^\rho_\sigma$ y por ejemplo $\delta^\rho_\sigma a^\sigma=a^\rho$ además de eso $\partial_\mu a^\nu=\eta^{\nu\sigma}\partial_\mu a_\sigma$ . Pueden (o no) ser útiles.

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