Esta puede ser una pregunta muy directa, pero me pregunto por qué siempre usamos lagrangianos invariantes de Poincaré en la teoría de campos. Después de todo, todo el mundo que nos rodea no es homogéneo, isotrópico, etc. ¿Estamos escribiendo el Lagrangiano para un universo ideal que tiene invariancia de Poincaré? Pero estamos tratando de explicar el mundo real donde no veo invariancia traslacional o rotacional. ¿Bien? Incluso las teorías de campos que interactúan son invariantes de Poincaré, mientras que en la mecánica clásica la presencia de un término potencial en el lagrangiano se rompe la invariancia traslacional.
El estado del universo no es homogéneo e isotrópico, pero las leyes de la física sí lo son. Por ejemplo, la velocidad de propagación de la luz es la misma en todas las direcciones y la masa del electrón no es función de la posición. Escribir un Lagrangiano requiere una suposición sobre las leyes de la física (o más precisamente, una suposición sobre la dinámica). No se requiere ninguna suposición sobre el estado.
En mecánica clásica, es cierto que un potencial externo rompe la invariancia de traslación. Sin embargo, un potencial de interacción entre dos partículas en y no rompe la invariancia de traducción si es de la forma , como suele ser (por ejemplo, la gravedad newtoniana). Las interacciones entre partículas en la teoría cuántica de campos Lagrangianos también son de esta forma.