Restricciones de las ecuaciones de campo hamiltonianas

Question

Restricciones de las ecuaciones de campo hamiltonianas

Física
teoría de campo
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

Okazaki

Consideremos el Lagrangiano

L = - \frac{1}{2} (\partial_{m} ϕ^{v})^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{m} ϕ^{m})^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ_{m} ϕ^{m},

$\mathcal{L}~=~-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\mu)^2+\frac{1}{2}m^2\phi_\mu \phi^\mu,$

con métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(+1,-1,-1,-1)$

Las ecuaciones de movimiento son entonces

- \partial_{v} \partial^{v} ϕ_{m} + \partial_{m} \partial^{v} ϕ_{v} - {metro}^{2} ϕ_{m} = 0.

$-\partial_\nu\partial^\nu\phi_\mu + \partial_\mu\partial^\nu\phi_\nu-m^2\phi_\mu~=~0.$

Tomando las cuatro divergencias encontramos $\partial_\mu\phi^\mu=0$ por lo que podemos reducir las ecuaciones de movimiento a

(\partial_{v} \partial^{v} + {metro}^{2}) ϕ_{m} = 0.

$(\partial_\nu\partial^\nu +m^2)\phi_\mu~=~0.$

Todo esto está bien. Sin embargo, cuando me convierto al formalismo hamiltoniano, las cosas no funcionan del todo. La cantidad de movimiento conjugada está dada por

π_{m} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ^{m})} = - \partial^{0} ϕ_{m} + \partial^{v} ϕ_{v} d_{m}^{0}

$\pi_\mu~=~\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi^\mu)}~=~-\partial^0\phi_\mu + \partial^\nu\phi_\nu\delta^0_\mu$

de donde obtenemos la relación de restricción

π_{0} - \partial^{i} ϕ_{i} = 0

$\pi_0-\partial^i\phi_i~=~0$

con $i=1,2,3$ .

el hamiltoniano $\mathcal{H}$ es dado por

H = π_{m} \partial_{0} ϕ^{m} - L

$\mathcal{H}~=~\pi_\mu\partial_0\phi^\mu-\mathcal{L}$

y las ecuaciones hamiltonianas son

\frac{\partial H}{\partial π_{m}} = \partial_{0} ϕ^{m}

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\pi_\mu}~=~\partial_0\phi^\mu$ y

\frac{\partial H}{\partial ϕ_{m}} = - \partial_{0} π^{m} .

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\phi_\mu}~=~-\partial_0\pi^\mu.$

Ahora, cuando escribo explícitamente el hamiltoniano e incluyo las restricciones, etc., la expresión se vuelve bastante complicada. Luego, calcular el eom está produciendo algo no muy agradable que no coincide con mi ecuación de movimiento original. EDITAR: Me acabo de dar cuenta de que no debería hacerlo de todos modos, ya que es un PDE de segundo orden frente a dos PDE de primer orden. Sin embargo, los eom todavía no están saliendo como deberían.

¿Hay algo en particular con lo que deba tener cuidado?

timeo

Tu primera línea no tiene sentido tal como está escrita. Usted tiene un

μ

$\mu$ y un

ν

$\nu$ debajo de la plaza. ¿Significa el cuadrado que desea escribir la misma expresión dos veces, por lo que tiene una suma doble implícita sobre el

μ

$\mu$ y

ν

$\nu$ ?

qmecanico

@Timaeus: Parece que el primer término

- \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ^{ν})^{2}

$-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2$ en la densidad lagrangiana significa

- \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{ν} \partial^{μ} ϕ_{ν}

$-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi^\nu\partial^\mu\phi_\nu$ .

Okazaki

Sí, esto es correcto @Timaeus

Respuestas (1)

Restricciones de las ecuaciones de campo hamiltonianas

Tu primera línea no tiene sentido tal como está escrita. Usted tiene un $\mu$ y un $\nu$ debajo de la plaza. ¿Significa el cuadrado que desea escribir la misma expresión dos veces, por lo que tiene una suma doble implícita sobre el $\mu$ y $\nu$ ?
@Timaeus: Parece que el primer término $-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2$ en la densidad lagrangiana significa $-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi^\nu\partial^\mu\phi_\nu$ .

qmecanico · Answer 1

OP escribió (v3):

¿Hay algo en particular con lo que deba tener cuidado?

Sí. Tenga cuidado con las restricciones secundarias , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

A continuación sigue una breve derivación parcial.

Deja que las letras griegas $\mu,\nu,\ldots$ indican índices de espacio-tiempo, mientras que las letras romanas $i,j,\ldots$ denotan sólo índices espaciales. La densidad lagrangiana
$L = - \frac{1}{2} \partial_{m} ϕ^{v} \partial^{m} ϕ_{v} + \frac{1}{2} (ϕ_{, m}^{m})^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{m} ϕ_{m}$ ${\cal L}~=~ -\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{\nu}\partial^{\mu} \phi_{\nu} +\frac{1}{2}(\phi^{\mu}_{,\mu})^2+\frac{1}{2}m^2\phi^{\mu}\phi_{\mu}$ $\begin{matrix} (A) & = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{i} {\dot{ϕ}}^{i} + {\dot{ϕ}}^{0} ϕ_{, i}^{i} + \frac{1}{2} (ϕ_{, i}^{i})^{2} - V, \end{matrix}$ $~=~\frac{1}{2}\dot{\phi}^i\dot{\phi}^i+ \dot{\phi}^0\phi^i_{,i} +\frac{1}{2}(\phi^i_{,i})^2-{\cal V},\tag{A}$ con densidad potencial $\begin{matrix} (B) & - V := \frac{1}{2} \partial_{i} ϕ^{m} \partial_{i} ϕ_{m} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{m} ϕ_{m}, \end{matrix}$ $-{\cal V}~:=~\frac{1}{2}\partial_i\phi^{\mu}\partial_i\phi_{\mu} +\frac{1}{2}m^2\phi^{\mu}\phi_{\mu}, \tag{B}$ y con métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(+1,-1,-1,-1)$ .
El impulso es igual a la velocidad
$\begin{matrix} (C) & π_{i} = {\dot{ϕ}}^{i}, \end{matrix}$ $\pi_i~=~\dot{\phi}^i,\tag{C}$ excepto por $\pi_0$ .
La restricción principal dice
$\begin{matrix} (D) & x^{1} := π_{0} - ϕ_{, i}^{i} \approx 0. \end{matrix}$ $\chi^1~:=~\pi_0- \phi^i_{,i}~\approx~0.\tag{D}$
La densidad hamiltoniana se convierte en
$\begin{matrix} (MI) & H = - \frac{1}{2} π_{m} π^{m} + V . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~-\frac{1}{2}\pi_{\mu}\pi^{\mu}+{\cal V}. \tag{E}$
Los CCR leen
$\begin{matrix} (F) & {ϕ^{m} (X), π_{v} (y)}_{PAG B} = d_{v}^{m} d^{3} (X - y), \end{matrix}$ $\{\phi^{\mu}({\bf x}),\pi_{\nu}({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta^3({\bf x}-{\bf y}),\tag{F}$ y todos los demás desaparecen.
Una restricción secundaria
$\begin{matrix} (GRAMO) & x^{2} := {metro}^{2} ϕ^{0} - ϕ_{, i i}^{0} - π_{i, i} \approx 0 \end{matrix}$ $\chi^2~:=~ m^2\phi^0 - \phi^0_{,ii} - \pi_{i,i}~\approx~0\tag{G}$ surge porque $\{\chi^1,H\}_{PB}$ no es proporcional a $\chi^1$ . Sin una restricción secundaria, la evolución temporal violaría la restricción primaria (D). Se puede comprobar que no aparece una restricción terciaria.
El corchete de Poisson entre las dos restricciones dice
$\begin{matrix} (H) & {x^{2} (X), x^{1} (y)}_{PAG B} = {metro}^{2} d^{3} (X - y) . \end{matrix}$ $\{\chi^2({\bf x}),\chi^1({\bf y})\}_{PB} ~=~m^2\delta^3({\bf x}-{\bf y}).\tag{H}$ En otras palabras, las dos restricciones son de primera (segunda) clase si $m^2=0$ ( $m^2\neq 0$ ), respectivamente.
Las restricciones de primera clase generan simetría de calibre.
Para restricciones de segunda clase, el soporte de Dirac
${ϕ^{0} (X), π_{0} (y)}_{D B} = \frac{\partial_{i} \partial_{i}}{{metro}^{2}} d^{3} (X - y),$ $\{\phi^0({\bf x}), \pi_0({\bf y})\}_{DB}~=~\frac{\partial_i\partial_i}{m^2}\delta^3({\bf x}-{\bf y}),$ ${ϕ^{i} (X), π_{j} (y)}_{D B} = (d_{j}^{i} - \frac{\partial_{i} \partial_{j}}{{metro}^{2}}) d^{3} (X - y),$ $\{\phi^i({\bf x}), \pi_j({\bf y})\}_{DB}~=~\left(\delta^i_j-\frac{\partial_i\partial_j}{m^2}\right)\delta^3({\bf x}-{\bf y}),$ $\begin{matrix} (I) & {ϕ^{0} (X), ϕ^{i} (y)}_{D B} = - \frac{\partial_{i}}{{metro}^{2}} d^{3} (X - y), etc., \end{matrix}$ $\{\phi^0({\bf x}), \phi^i({\bf y})\}_{DB}~=~-\frac{\partial_i}{m^2}\delta^3({\bf x}-{\bf y}),\qquad \text{etc},\tag{I}$ es necesario.

Para ser honesto, leí el libro de Dirac y el otro y no tengo claro qué se debe hacer además de agregar el término de restricción a las ecuaciones de Hamilton.
Entonces (siguiendo el libro de Dirac) la restricción secundaria sería $\{\chi,H \}_{PB}+\lambda\{\chi,\chi \}_{PB}=0$ . ¿Es eso correcto? como se encuentra $\lambda$ ?

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