¿Cuál es el Lagrangiano de la ecuación de Pauli?

Bueno, es una transcripción sencilla, si aprecias el lenguaje.

Para el campo de Schroedinger de 1 componente (clásico) en ausencia de campos EM externos aplicados, la densidad de Lagrange es en realidad

$$\mathcal{L} = i\hbar\psi^*\dot \psi - \frac{1}{2m}\Big( \psi^*\boldsymbol{p}^2\psi \Big)- \psi^*V\psi ~~;$$ (He integrado tu expresión, corregida, por partes y suplantada ${\boldsymbol p}=-i\hbar {\boldsymbol \nabla}$.)

El momento canónico degenerado usual para ψ es pero$\Pi_\psi=i\hbar \psi^*$, que elimina el término de derivada temporal en la transformada de Legendre al hamiltoniano, ya que$\psi^* \Pi_\psi-i\hbar \psi^* \partial_t\psi=0$.

La densidad hamiltoniana de campo resultante también es trivial,

$${\cal H}= \psi^* \Big( \frac{1}{2m} \boldsymbol{p}^2 +V\Big) \psi,$$ obteniendo el hamiltoniano estándar de Schroedinger.

Para generalizar a Pauli, promueva los campos de onda / funciones a dos espinores, inserte los potenciales vectoriales necesarios (en la parte potencial clásica no cuantificada), y tendrá

$$\mathcal{L} = i\hbar\psi^\dagger\cdot \dot \psi - \psi^\dagger \cdot \Big( \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi \Big) \psi.$$ Recuerde que las matrices de Pauli son hermitianas. La acción es la integral de espacio y tiempo de esto.

Una vez más, la variación respecto a los campos/variables clásicos de dos espinores (como los qs y ps de la mecánica clásica) produce la correspondiente ecuación de Schroedinger/Pauli.