Lagrangiana efectiva de dispersión de electrones y neutrinos

Está bien, vamos a darle una oportunidad.$SU(2)$El sector del Modelo Estándar Lagrangiano está bastante involucrado, así que vamos a echar un vistazo a algo más simple. Me viene a la mente la interacción neutrón-protón. En el límite de baja energía, está mediado por una partícula escalar masiva: un pión. Seremos muy cualitativos al respecto, en realidad hay muchos detalles.

Lagrangiano se verá algo como esto:

$$\mathcal{L} = \frac12 \partial^\mu \pi \partial_\mu \pi - \frac12 m_\pi^2 \pi^2 - g \overline{\psi}\pi{\psi}+ \mathcal{L}_{Dirac}$$

Básicamente, lo que estás tratando de hacer es lo siguiente:

$$\mathcal{Z}_{eff} = \langle \mathcal{Z} \rangle_\pi$$

es decir, producir una expresión para la función de partición que tendría el mismo aspecto que la fundamental en el límite de baja energía. Debes recordar que la función de partición contiene un exponente de la acción que básicamente hace el trabajo de unir todos los operadores de Lagrange en unos más complicados. Al final, si expandes este exponente, obtendrás una serie infinita de todas las posibles interacciones de la teoría escritas explícitamente. No haremos eso, pero lo imaginaremos.

Entre ellos estarán los operadores que estamos buscando:

$$\hat{\mathcal{O}}_1 =\overline{\psi}(x) g \pi(x) \psi(x)$$ $$\hat{\mathcal{O}}_2 =\overline{\psi}(x) g \pi(x) \psi(x) \cdot \overline{\psi}(x') g \pi(x') \psi(x')$$

Como vamos a promediar sobre la partícula escalar, le asignaremos a su campo una expectativa de vacío cero de modo que por sí solo no contribuya:

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_1 \rangle_\pi = \overline{\psi}(x) g \langle\pi(x)\rangle \psi(x) \approx 0$$

lo que significa que estas partículas no se producirán. Entonces,

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_2 \rangle_\pi = g^2 \overline{\psi}(x) \psi(x) \cdot \langle \pi(x) \pi(x') \rangle \cdot \overline{\psi}(x') \psi(x')$$

Aquí tenemos un promedio bien conocido: el propagador. Para simplificar, vayamos al espacio de Fourier de ahora en adelante. Aquí está su transformada de Fourier:

$$\tilde{S}_\pi (p) = \frac{1}{p^2 -m_\pi^2}$$

Como la escala de energía es demasiado pequeña para producir una partícula real, tomamos la contribución de orden más bajo de este operador, que será

$$\tilde{S}_\pi \approx -\frac{1}{m_\pi^2}$$

Y nuestro operador se convierte en

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_2 \rangle_\pi = -\frac{g^2}{m_\pi^2} \overline{\psi} \psi \overline{\psi} \psi$$

A continuación, evaluando todos los promedios de orden superior de$\pi$y reacomodando la serie, podemos en principio reunir un nuevo exponente con una acción efectiva.