Cálculo de la corriente de probabilidad para el problema de dispersión

Question

Cálculo de la corriente de probabilidad para el problema de dispersión

Wooster

Estoy tratando de calcular la corriente de probabilidad para un problema de dispersión. el potencial es $V = V_0 > 0$ en $x>0$ , con $E>V_0$

Así que tengo en la región $x \le 0$ :

ψ = Exp (i k X) + R Exp (- i k X)

$\psi = \exp(ikx) + R \exp(-ikx)$

Y en $x>0$

ψ = T Exp (i k X)

$\psi = T \exp(i \kappa x)$

Estoy tratando de calcular la probabilidad actual, $j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ , en cada región y demuestre que es igual.

Sin embargo, cuando calculo la probabilidad actual en $x<0$ , Yo obtengo:

\bar{ψ} = Exp (- i k X) + \bar{R} Exp (i k X)

$\bar{\psi} = \exp(-ikx) + \bar{R}\exp(ikx)$

ψ^{'} = i k Exp (i k X) - i k R Exp (- i k X)

$\psi' = ik\exp(ikx) -ikR\exp(-ikx)$

\bar{ψ^{'}} = - i k Exp (- i k X) + i k \bar{R} Exp (i k X)

$\bar{\psi'} = -ik\exp(-ikx) + ik\bar{R}\exp(ikx)$

ψ = Exp (i k X) + R Exp (- i k X)

$\psi = \exp(ikx) + R\exp(-ikx)$

Entonces:

\bar{ψ} ψ^{'} = i k - i k R Exp (- 2 i k X) + \bar{R} i k Exp (2 i k X) - i k R \bar{R}

$\bar{\psi} \psi' = ik -ikR\exp(-2ikx) + \bar{R}ik\exp(2ikx) - ikR\bar{R}$

{\bar{ψ}}^{'} ψ = - i k - i k R Exp (- 2 i k X) + i k \bar{R} mi X pag (2 i k X) + i k R \bar{R}

$\bar{\psi}' \psi = -ik -ikR\exp(-2ikx) +ik\bar{R}exp(2ikx) +ik R\bar{R}$

Por eso,

j = \frac{h k}{2 metro} (1 + R Exp (- 2 i k X) - \bar{R} Exp (2 i k X) - R \bar{R})

$j = \frac{hk}{2m} (1 + R \exp(-2ikx) - \bar{R} \exp(2ikx) - R\bar{R})$

Y en la región $x>0$ :

j = \frac{k h}{2 metro} (T \bar{T})

$j = \frac{\kappa h}{2m}(T\bar{T})$ .

Puedo demostrar que (al imponer condiciones de continuidad en el límite):

k (1 - | R |^{2}) = k | T |^{2}

$k(1-|R|^2) = \kappa |T|^2$

Entonces, esperaría que la primera corriente de probabilidad sea simplemente: $\frac{kh}{2m}(1-|R|^2)$ .

¡Cualquier ayuda con este problema es muy apreciada! Estoy bastante seguro de que estoy cometiendo algún error estúpido en alguna parte, ¡pero es muy frustrante porque no puedo encontrarlo!

Gracias

Andrés

Hm, ¿estás seguro de que calculaste tu probabilidad actual para

x \leq 0

$x\leq 0$ ¿correctamente? Tu fórmula para la corriente tiene la forma

- i (z - z^{*})

$-i(z-z^*)$ por un complejo

z

$z$ (

z = \bar{ψ} ψ^{'}

$z=\bar{\psi}\psi'$ ), que es la parte imaginaria de

z

$z$ y es así manifiestamente real. Sin embargo, su expresión para la corriente de probabilidad es compleja. Así que esas dos expresiones no son consistentes.

Wooster

¡Sí, este es mi problema! ¿Pero no puedo ver dónde me estoy equivocando cuando lo calculo? Estoy bastante seguro de que es solo un molesto error de álgebra.

Andrés

A mí me parece que has escrito

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi}\psi'$ y llamó así

j

$j$ , sin restar el complejo conjugado. Por ejemplo,

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi}\psi'$ tiene un término que es

h k / 2 m

$hk/2m$ , pero cuando restas

ψ {\bar{ψ}}^{'}

$\psi\bar{\psi}'$ este término se cancelará.

Wooster

Mmm, gracias por tu ayuda. Porque deberia

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi} \psi'$ tiene esos terminos? He agregado un poco más de detalle a cómo estoy calculando

j

$j$ a la pregunta

Andrés

La corriente de probabilidad es proporcional a

I m (\bar{ψ} ψ^{'})

${\rm Im}(\bar{\psi}\psi')$ (si esta parte no está clara, dedique algún tiempo a comprenderla). Así que toma tus expresiones para

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ y

ψ^{'}

$\psi'$ , que son correctos, multiplícalos y calcula explícitamente las partes real e imaginaria. En este momento solo los estás multiplicando, sin dividirlos en partes reales e imaginarias.

Wooster

De hecho, esa parte no me queda clara. ¿Mi definición de probabilidad es actual (

j = \frac{- i h}{2 m} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ)

$j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ ) incorrecto?

Andrés

Continuemos esta discusión en el chat .

Respuestas (1)

Cálculo de la corriente de probabilidad para el problema de dispersión

Hm, ¿estás seguro de que calculaste tu probabilidad actual para $x\leq 0$ ¿correctamente? Tu fórmula para la corriente tiene la forma $-i(z-z^*)$ por un complejo $z$ ( $z=\bar{\psi}\psi'$ ), que es la parte imaginaria de $z$ y es así manifiestamente real. Sin embargo, su expresión para la corriente de probabilidad es compleja. Así que esas dos expresiones no son consistentes.
¡Sí, este es mi problema! ¿Pero no puedo ver dónde me estoy equivocando cuando lo calculo? Estoy bastante seguro de que es solo un molesto error de álgebra.
A mí me parece que has escrito $\bar{\psi}\psi'$ y llamó así $j$ , sin restar el complejo conjugado. Por ejemplo, $\bar{\psi}\psi'$ tiene un término que es $hk/2m$ , pero cuando restas $\psi\bar{\psi}'$ este término se cancelará.
Mmm, gracias por tu ayuda. Porque deberia $\bar{\psi} \psi'$ tiene esos terminos? He agregado un poco más de detalle a cómo estoy calculando $j$ a la pregunta
La corriente de probabilidad es proporcional a ${\rm Im}(\bar{\psi}\psi')$ (si esta parte no está clara, dedique algún tiempo a comprenderla). Así que toma tus expresiones para $\bar{\psi}$ y $\psi'$ , que son correctos, multiplícalos y calcula explícitamente las partes real e imaginaria. En este momento solo los estás multiplicando, sin dividirlos en partes reales e imaginarias.
De hecho, esa parte no me queda clara. ¿Mi definición de probabilidad es actual ( $j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ ) incorrecto?

RE60K · Answer 1

Tu dices

j = \frac{h k}{2 metro} (1 + R Exp (- 2 i k X) - \bar{R} Exp (2 i k X) - R \bar{R})

$j = \frac{hk}{2m} (1 + R \exp(-2ikx) - \bar{R} \exp(2ikx) - R\bar{R})$ Pero en cambio como

$j = \frac{- i ℏ}{2 metro} (\bar{Ψ} Ψ^{'} - {\bar{Ψ}}^{'} Ψ) = \frac{- i h}{4 π metro} (\bar{Ψ} Ψ^{'} - {\bar{Ψ}}^{'} Ψ)$ $j=\frac{-i\hbar}{2m}(\bar\Psi\Psi'-\bar\Psi'\Psi)=\frac{-ih}{4\pi m}(\bar\Psi\Psi'-\bar\Psi'\Psi)$

En $x<0$ ,

\bar{ψ} ψ^{'} = i k - i k R Exp (- 2 i k X) + \bar{R} i k Exp (2 i k X) - i k R \bar{R}

$\bar{\psi} \psi' = ik -ikR\exp(-2ikx) + \bar{R}ik\exp(2ikx) - ikR\bar{R}$

{\bar{ψ}}^{'} ψ = - i k - i k R Exp (- 2 i k X) + i k \bar{R} mi X pag (2 i k X) + i k R \bar{R}

$\bar{\psi}' \psi = -ik -ikR\exp(-2ikx) +ik\bar{R}exp(2ikx) +ik R\bar{R}$

Entonces

j = \frac{- i ℏ}{2 metro} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ) = \frac{- i ℏ}{2 metro} (2 i k - 2 i k R \bar{R}) = \frac{- i ℏ}{2 metro} .2 i k (1 - 1 R \bar{R}) = \frac{h k}{2 π metro} (1 - | R |^{2})

$j = \frac{-i\hbar }{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)=\frac{-i\hbar}{2m} (2ik-2ikR\bar R)=\frac{-i\hbar}{2m} .2ik(1-1R\bar R)=\frac{hk}{2\pi m}(1-|R|^2)$ . Y en

x > 0

$x>0$ ,

ψ = T Exp (i k X)

$\psi=T\exp(ikx)$

\bar{ψ} ψ^{'} = i k \bar{T} T

$\bar{\psi} \psi' = ik\bar TT$

{\bar{ψ}}^{'} ψ = - i k \bar{T} T

$\bar{\psi}' \psi = -ik\bar TT$

j = \frac{- i ℏ}{2 metro} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ) = \frac{- i ℏ}{2 metro} (2 i k \bar{T} T) = \frac{- i ℏ}{2 metro} 2 i k (| T |^{2}) = \frac{h k}{2 π metro} (| T |^{2})

$j=\frac{-i\hbar }{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)=\frac{-i\hbar }{2m} (2ik\bar TT)=\frac{-i\hbar }{2m} 2ik(|T|^2)=\frac{hk}{2\pi m}(|T|^2)$

Tu error fue simplemente la resta de dos

Marque esta como respuesta correcta si cree que ha resuelto su problema
Lo siento, olvidé aceptar, ¡no paso mucho tiempo en este sitio!
Pequeña sutileza: cuando la persona que hace la pregunta "acepta" la respuesta, eso NO equivale a que sea la respuesta CORRECTA. En este caso bien podría ser, pero no confundas los dos....
Lo siento, @Floris, entiendo lo que quisiste decir con respuesta aceptada y respuesta correcta, por cierto, el inglés no es mi primer idioma, soy indio.
@Aditya - no hay necesidad de disculparse. ¡El inglés tampoco es mi primer idioma! Hay algunas discusiones interesantes en Meta sobre el hecho de que la persona que pregunta la respuesta probablemente no esté calificada para saber cuál de un rango de respuestas es "correcta"; simplemente marcan la que encontraron "más útil". Cuando acuda a los archivos de Stackexchange en busca de sabiduría, debe tener esto en cuenta...

Cálculo de la corriente de probabilidad para el problema de dispersión

Wooster

Andrés

Wooster

Andrés

Wooster

Andrés

Wooster

Andrés

Respuestas (1)

RE60K

RE60K

Wooster

floris

RE60K

floris

Problema de dispersión cuántica en medio anisotrópico

Polos para una partícula dispersa en un potencial delta

Desplazamiento de fase de dispersión 1D (pozo finito): ¿no físico?

Cálculo de la probabilidad de transmisión de una función de onda entre dos distribuciones delta

Mecánica cuántica - problema de paso potencial

¿Cuál es la energía de un paquete de ondas gaussianas?

Efecto túnel cuántico en un potencial del tipo V(x)=Ax21+x4V(x)=Ax21+x4V(x)=A\frac{x^2}{1+x^4} [cerrado]

Túneles y transmisión

Quantum introductorio, problemas con esta condición límite y potencial

Colisiones de ondas s, ondas p o ondas d en la teoría de dispersión