Determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen

Question

Determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen

cálculo
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

bdvg2302

la serie es $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ .

En mi libro solo veo ejemplos y ejercicios para determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen en series alternas.

Esta serie no es alterna. Así que quiero asegurarme de que mi análisis sea correcto.

Tengo estas reglas:

Las series $\sum a_n$ es:

Absolutamente convergente si $\sum |a_n|$ converge
Condicionalmente convergente si $\sum |a_n|$ diverge pero $\sum a_n$ converge
divergente si $\sum |a_n|$ diverge pero $\sum a_n$ también diverge.

Avíseme si el resumen de estas reglas está bien.

Siguiendo estas reglas entonces:

$\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$

Estoy usando la prueba de comparación directa:

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}=\frac{1}{n^3}$

Entonces:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ converge porque $p=3>1$ por $p$ -serie.

Por lo tanto, por la prueba de comparación directa $\sum \frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ también converge.

Por lo tanto $\sum \frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ es absolutamente convergente.

¿Tengo razón?

Gracias de antemano por tu tiempo.

greg martin

la desigualdad

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} < \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}$ es incorrecto (pruebe valores específicos de

n

$n$ , o mire el numerador y el denominador por separado). ¿Conoces el Test de Comparación de Límites?

adán rubinson

Básicamente tienes razón, pero solo ten cuidado con algunos de los detalles como señaló Greg.

bdvg2302

@GregMartin Conozco la prueba de comparación de límites. Pero lo uso cuando no se cumple ninguno de los criterios de la prueba de Comparación Directa. Vi eso

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} > \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}>\frac{n^2}{n^5}$ para n>1.175. Entonces porque mi serie va de

1

$1$ a

\infty

$\infty$ y

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} ≮ \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}\nless\frac{n^2}{n^5}$ en todo el intervalo

[1, \infty)

$[1,\infty)$ ¿Debo usar la prueba de comparación de límites?

greg martin

No pensaría en ello como "Debo usar la prueba de comparación de límites", sino como "mi argumento actual es matemáticamente incorrecto, por lo que necesito cambiarlo". La LCT es mi sugerencia para una herramienta que se alinee más estrechamente con su pensamiento actual pero que no sea víctima de la misma falla.

bdvg2302

@GregMartin Lo siento, pero no te sigo. ¿Cambiar mi argumento exactamente a qué? Si uso la LCT sería

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n}}{\frac{1}{n^{3}}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}}{\frac{1}{n^3}}$ . El resultado sería 1 y porque es finito y positivo y porque

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ converge por la prueba de la serie p, entonces ambos convergen. Por lo tanto,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ es absolutamente convergente?

Respuestas (1)

Determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen

la desigualdad $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}$ es incorrecto (pruebe valores específicos de $n$ , o mire el numerador y el denominador por separado). ¿Conoces el Test de Comparación de Límites?
Básicamente tienes razón, pero solo ten cuidado con algunos de los detalles como señaló Greg.
@GregMartin Conozco la prueba de comparación de límites. Pero lo uso cuando no se cumple ninguno de los criterios de la prueba de Comparación Directa. Vi eso $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}>\frac{n^2}{n^5}$ para n>1.175. Entonces porque mi serie va de $1$ a $\infty$ y $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}\nless\frac{n^2}{n^5}$ en todo el intervalo $[1,\infty)$ ¿Debo usar la prueba de comparación de límites?
No pensaría en ello como "Debo usar la prueba de comparación de límites", sino como "mi argumento actual es matemáticamente incorrecto, por lo que necesito cambiarlo". La LCT es mi sugerencia para una herramienta que se alinee más estrechamente con su pensamiento actual pero que no sea víctima de la misma falla.
@GregMartin Lo siento, pero no te sigo. ¿Cambiar mi argumento exactamente a qué? Si uso la LCT sería $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}}{\frac{1}{n^3}}$ . El resultado sería 1 y porque es finito y positivo y porque $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ converge por la prueba de la serie p, entonces ambos convergen. Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ es absolutamente convergente?

Moni145 · Answer 1

En primer lugar, su serie no se alterna, por lo que no puede usar la prueba de series alternas. Los términos "absolutamente/convergencia condicional" SÓLO se aplican a series alternas. Si su serie no se alterna, simplemente converge o diverge. Estos términos no se aplican. Podrías decir que es absolutamente convergente, porque el valor absoluto no afecta el valor de la suma, pero esto es bastante innecesario.

Observe que tiene un polinomio de grado $2$ en el numerador, y un polinomio de grado $5$ en el denominador. Así como $n$ se vuelve muy grande, esta fracción se parece cada vez más a $\frac{n^2}{n^5} = \frac{1}{n^3}$ . Aquí hay un gráfico con $\frac{1}{n^3}$ en rojo y $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ en azul. Observe que las funciones convergen a cero juntas como $n$ se hace grande Esta es la idea detrás de la prueba de comparación de límites, que dice así:

Supongamos que tenemos dos series. $\sum a_n$ y $\sum b_n$ , y deja $L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}$ . Si $L$ es finito y positivo, entonces $a_n$ y $b_n$ AMBOS convergen o AMBOS divergen. De lo contrario, no podemos llegar a ninguna conclusión.

Tómalo $a_n$ = $\frac{1}{n^3}$ y $b_n = \frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}.$ Entonces,

\frac{a_{norte}}{b_{norte}} = \frac{\frac{1}{{norte}^{3}}}{\frac{{norte}^{2} + 1}{{norte}^{5} - {norte}^{4} + norte}} = \frac{{norte}^{5} - {norte}^{4} + 1}{{norte}^{5} + {norte}^{3}}

$\frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}} = \frac{n^5 - n^4 + 1}{n^5+n^3}$

Y, cuando tomamos el límite, vemos que

L = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{a_{norte}}{b_{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{{norte}^{5} - {norte}^{4} + 1}{{norte}^{5} + {norte}^{3}} = 1

$L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^5 - n^4 + 1}{n^5+n^3} = 1$

Porque $L=1$ , es positivo y finito, y concluimos que AMBOS $\sum\frac{1}{n^3}$ y $\sum\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ convergen, o ambos divergen. Porque $\sum\frac{1}{n^3}$ converge, sabemos que nuestra suma dada, $\sum\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ , también debe converger.

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Moni145

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia de una serie infinita particular

Convergencia paramétrica de series infinitas

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

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