¿Cuál es el origen del término delta de Dirac en el campo eléctrico del dipolo?

Te daré la derivación de mi libro que incluye una buena manera de ver cómo surgen las funciones delta: ........................... .................................................... .................................................... ...............................

Podemos derivar el campo potencial$\vec{A}$y los campos electromagnéticos$\vec{E}$y$\vec{B}$de un dipolo de punto vectorial y un dipolo de punto axial de la misma manera que los derivamos en el caso de un monopolo de punto. Empezamos con una carga puntual estática$\delta(\vec{r})$y derivar las densidades de carga/corriente del dipolo con la ayuda de operadores diferenciales.

Aplicamos los mismos operadores diferenciales para$\vec{A}$,$\vec{E}$y$\vec{B}$para obtener los campos dipolares a partir de los campos monopolares. Primero recordamos los campos del monopolo. La carga puntual obtiene (con el tiempo) un campo potencial dado por.

$\mbox{field}\Big\{\,\delta(\vec{r})\,\Big\} ~~=~~ \frac{1}{4\pi r}$

El operador inverso que deriva la fuente del campo es simplemente el operador laplaciano.$-\nabla^2\Big\{\,\frac{1}{4\pi r}\,\Big\} ~~=~~ \delta(\vec{r})$

La integración de la función delta sobre el espacio muestra contribuciones iguales de los tres componentes espaciales.

$\int \delta(\vec{r})~d\vec{r} ~=~ -\int\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right] \frac{d\vec{r}}{4\pi r} ~=~ \frac13+\frac13+\frac13 ~=~ 1$

Podemos definir fuentes de dipolo vectorial y dipolo axial usando operadores diferenciales en el monopolo$\delta(\vec{r})$y derivar su potencial y campos electromagnéticos.

El vector dipolo se obtiene diferenciando el monopolo según la dirección que queremos que tenga el dipolo. El resultado es una combinación de una función delta positiva y negativa. El dipolo axial está definido por el rotacional del monopolo de modo que da una corriente puntual circular en la dirección del dipolo.

densidades de carga/corriente, potenciales y campos de dipolos:

$\begin{array}{|lcll|} \hline &&& \\ j^o &=& ~~~\mbox{div}\,\left(~\vec{\mu} \,\delta(\vec{r})~\right) & \mbox{vector dipole charge density} \\ \vec{j} &=& ~~~\mbox{curl}\left(~\vec{\mu}\, \delta(\vec{r})~\right) & \mbox{axial dipole current density} \\ &&& \\ A^o &=& ~~~\mbox{div}\,\left(~\vec{\mu} \,\frac{1}{4\pi r}\,\right) & \mbox{vector dipole electric potential} \\ \vec{A} &=& ~~~\mbox{curl}\left(~\vec{\mu} \,\frac{1}{4\pi r}\,\right) & \mbox{axial dipole magnetic potential} \\ &&& \\ \mathsf{E}&=& -~\mbox{grad}\left(\mbox{div}\,\left(~\vec{\mu} \,\frac{1}{4\pi r}\,\right)\right)& \mbox{vector dipole electric field} \\ \mathsf{B}&=& +~\,\mbox{curl}\left(\mbox{curl} \left(~\vec{\mu}\,\frac{1}{4\pi r}\,\right)\right)& \mbox{axial dipole magnetic field} \\ &&& \\ \hline \end{array}$

Los campos potenciales se obtienen aplicando los mismos operadores diferenciales sobre el campo$1/4\pi r$del monopolo y no de la distribución de carga. Para un momento dipolar en el$z$-dirección que obtenemos en unidades SI.

Campos potenciales de los dipolos eléctrico y magnético:

$\Phi ~=~ \frac{z}{4\pi\epsilon_o r^3}\,\mu~~~~~~~~ \vec{A} ~=~ \Big( -y ~,~ x~ ~,~ 0 \Big)~ \frac{\mu_o}{4\pi r^3}\,\mu$

Las expresiones de los campos electromagnéticos contienen implícitamente funciones delta en el centro con la magnitud correcta. Estas funciones delta se pierden fácilmente si la derivación no es lo suficientemente cuidadosa. Los campos E y B están relacionados entre sí por la identidad del vector estándar.

$\mbox{curl}(\mbox{curl}\vec{X}) ~=~ \mbox{grad}(\mbox{div}\vec{X})-\nabla^2\vec{X}$

Hemos visto que el último término (el laplaciano) da como resultado$\delta(\vec{r})$. Por lo tanto, los dos difieren solo en el centro por una función delta en el$\vec{\mu}$dirección. Podemos ver esto explícitamente si alineamos los dipolos con el eje z, de modo que$\vec{\mu}$tiene solo un componente z, y escriba los campos.

La única diferencia está en los componentes z. La diferencia total entre los dos es el laplaciano y por lo tanto$\delta(\vec{r})$. El dipolo vectorial obtiene -1/3 mientras que el dipolo axial obtiene +2/3.

$\begin{aligned} \mathsf{E} &= &\frac{1}{\epsilon_o}\bigg[~ \mathbf{\hat{x}}\, \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} ~+~ \mathbf{\hat{y}}\, \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} ~+~~~ \mathbf{\hat{z}}\, \frac{\partial^2}{\partial z^2} ~~~~~~~~~~~~~ &\bigg] ~ \frac{\mu}{4\pi r}\\ \\ \mathsf{B} &= &\mu_o\bigg[~ \mathbf{\hat{x}}\,\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} ~+~ \mathbf{\hat{y}}\,\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} ~-~ \mathbf{\hat{z}}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)~ &\bigg] ~ \frac{\mu}{4\pi r}\\ \end{aligned}$

Lo cual podemos ver en la tercera ecuación con las tres partes de 1/3. En el caso general, con dirección dipolar arbitraria$\vec{\mu}$obtenemos para los campos electromagnéticos en forma vectorial.

Campos dipolares electromagnéticos:

$\begin{aligned} \mathsf{E} &= &\frac{1}{\epsilon_o}\left(~\frac{3\left(\vec{\mu}\cdot\hat{r}\right)\hat{r}-\vec{\mu}}{4\pi r^3} ~-~\frac13\vec{\mu}\,\delta(\vec{r})~\right) \\ \\ \mathsf{B} &= &\mu_o\left(~\frac{3\left(\vec{\mu}\cdot\hat{r}\right)\hat{r}-\vec{\mu}}{4\pi r^3} ~+~\frac23\vec{\mu}\,\delta(\vec{r})~\right) \end{aligned}$

Alternativamente, podemos mirar los campos explícitamente expresados ​​en el individuo$x$,$y$y$z$componentes que da. (con el momento dipolar en el$z$-dirección)

$\begin{aligned} \mathsf{E} &= &\frac{\mu}{4\pi\epsilon_o}\bigg[~ \mathbf{\hat{x}}\, \frac{3xz}{r^5} ~+~ \mathbf{\hat{y}}\, \frac{3yz}{r^5} ~+~~~ \mathbf{\hat{z}}\, \left(\frac{3zz}{r^5}-\frac{1}{r^3} - \frac{4\pi}{3}\delta(r)\right)~ &\bigg] \\ \\ \mathsf{B} &= &\frac{\mu_o\mu}{~4\pi~}\bigg[~ \mathbf{\hat{x}}\, \frac{3xz}{r^5} ~+~ \mathbf{\hat{y}}\, \frac{3yz}{r^5} ~+~~~ \mathbf{\hat{z}}\, \left(\frac{3zz}{r^5}-\frac{1}{r^3} + \frac{8\pi}{3}\delta(r)\right)~ &\bigg] \\ \end{aligned}$

En general los campos decrecen con el tercer orden de$r$en comparación con$1/r^2$por la carga que hace posible no muchos efectos a mayor escala. Por otro lado, cuando vamos a escalas más pequeñas, los campos magnéticos dipolares se vuelven más potentes en relación con la carga.

Hay dos tipos comunes de campos vectoriales dipolares en física:

El campo dipolar " libre de divergencias ":

$\vec{V}(\vec{r}) \propto \frac{3\left(\vec{\mu}\cdot\hat{r}\right)\hat{r}-\vec{\mu}}{4\pi r^3} + \frac23\vec{\mu}\,\delta(\vec{r})$

El campo dipolar " sin curl ":

$\vec{V}(\vec{r}) \propto \frac{3\left(\vec{\mu}\cdot\hat{r}\right)\hat{r}-\vec{\mu}}{4\pi r^3} - \frac13\vec{\mu}\,\delta(\vec{r})$

La divergencia del primero es cero en todas partes, incluso en el origen ; el rotacional del segundo es cero en todas partes, incluso en el origen . (Esbozo de prueba en el apéndice).

El campo eléctrico de un dipolo eléctrico ideal tiene rotacional cero, por lo que tiene que ser el segundo. El campo magnético B de un dipolo magnético ideal tiene divergencia cero, por lo que tiene que ser el primero. El campo magnético H de un dipolo magnético ideal tiene rotaciones cero, por lo que tiene que ser el segundo. ¡Etcétera!

Sin duda, es importante incluir las funciones delta: si las omite, ¡las ecuaciones de Maxwell se violan en el origen! Por ejemplo, si omite la función delta, entonces el campo eléctrico tiene una curvatura distinta de cero, lo que viola la ley de Faraday.

Un buen ejemplo es el campo dentro de una esfera que está uniformemente llena de dipolos. Es simplemente proporcional al término de la función delta. Entonces, el campo E dentro de una esfera polarizada uniformemente apunta en sentido antiparalelo a los momentos dipolares, el campo B dentro de una esfera magnetizada uniformemente apunta en paralelo, el campo H apunta en sentido antiparalelo.

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Apéndice: esquema de prueba de que el "campo dipolar libre de divergencias" está realmente libre de divergencias en todas partes (incluido el origen), y el "campo dipolar libre de rotaciones" está realmente libre de rotaciones en todas partes (incluido el origen).

Esto solo es complicado debido al origen. Lejos del origen, los campos son los mismos y tienen divergencia cero y rotación cero. Puede probar esto mediante cálculo y álgebra sencillos. Incluir el origen requiere un enfoque diferente.

Un enfoque, una especie de enfoque físico, es escribir el campo dipolar sin divergencia como un límite de campos finitos, uniformes y sin divergencia, y escribir el campo dipolar sin rotaciones como un límite de campos finitos, uniformes y sin divergencia. Campos sin rizos. Para el primero, puede usar el campo magnético de un bucle de alambre circular que transporta una corriente que se hace cada vez más grande mientras que el bucle se hace cada vez más pequeño, manteniendo constante el producto de la corriente y el área. Para el segundo, puedes usar el campo eléctrico de un par de cargas iguales y opuestas que tienen una magnitud cada vez mayor a medida que su separación es cada vez menor, manteniendo constante el producto de carga y separación. Este enfoque requiere mucho trabajo y cuidado para asegurarse de que está realizando un seguimiento exacto de lo que sucede en el origen y sus alrededores.

Un enfoque alternativo, más matemático, es escribir el sin divergencia como el rizo de algo y el sin rizo como el gradiente de algo. (Puede buscar el "algo" fácilmente: es el potencial del dipolo eléctrico en el primer caso, el potencial del vector del dipolo magnético en el segundo caso). Para probar las igualdades lejos del origen, es simplemente un cálculo sencillo. Para demostrar las igualdades en el origen, haces una transformación integral (p. ej., el teorema de Kelvin-Stokes) para relacionar lo que sucede en el origen con las cosas de buen comportamiento que suceden fuera del origen.

Un dipolo está formado por dos cargas opuestas. Acercándolos cada vez más, aumentando al mismo tiempo su carga pero manteniendo el producto de la carga y la separación.$p = q \times d$constante, podemos formar un dipolo elemental ideal.

El campo en una línea entre las cargas va como$~ 1/d^4$y por lo tanto va al infinito como$d \to 0$. Esto forma el delta de Dirac. Como este dipolo es un modelo ideal, solo es necesario mantener la teoría consistente. Los dos únicos ejemplos que conozco de sus aplicaciones son

1. Para obtener un resultado correcto del campo eléctrico promedio sobre una esfera, cfr. "Introducción a la electrodinámica" de Griffiths, página 157.

2. Desdoblamiento hiperfino . Aunque dudo que la expresión clásica sea significativa a ese nivel, aparentemente da lugar a la interacción de contacto de Fermi.

El origen del problema es el punto especial.$\mathbf{r}=0$. En la derivación habitual (cuando se usa una fórmula fácil de derivar para el potencial$\varphi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{r^3}$):

$$E_{\alpha} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \nabla_{\alpha} \left( \frac{p_{\beta} x_{\beta}}{r^3}\right) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} p_{\beta} \left[ \frac{\nabla_{\alpha} x_{\beta}}{r^3} + x_{\beta}\nabla_{\alpha}\left(\frac{1}{r^3}\right)\right] = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} p_{\beta} \left[ \frac{\delta_{\alpha \beta}}{r^3} - 3 \frac{x_{\alpha} x_{\beta}}{r^5}\right] =$$ $$=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{p_{\alpha}}{r^3} - 3 \frac{x_{\alpha} (p_{\beta} x_{\beta})}{r^5} \right]$$ falta el término delta , porque no tratamos el punto especial$\mathbf{r}=0$en esta derivación. Para dar cuenta de este término, tenemos que mirar de cerca en $$\nabla_{\alpha}\left(\frac{x_{\beta}}{r^3}\right)$$ y reescribirlo: $$\nabla_{\alpha}\left(\frac{x_{\beta}}{r^3}\right) = - \nabla_{\alpha} \nabla_{\beta} \frac{1}{r}~~~~(1)$$ La traza de este término debe satisfacer la conocida $$\Delta \frac{1}{r} = -4 \pi \delta^3(\mathbf{r}).$$ La relación anterior (1) tiene dos índices, es simétrica e invariante con respecto a las rotaciones (cuando$r=0$). Por lo tanto, el término faltante debe ser proporcional a la matriz identidad (es decir,$\delta_{\alpha \beta}$) y finalmente tenemos: $$\nabla_{\alpha}\left(\frac{x_{\beta}}{r^3}\right) = \left( \frac{\delta_{\alpha \beta}}{r^3} - 3 \frac{x_{\alpha} x_{\beta}}{r^5} \right) + \frac{4 \pi}{3} \delta_{\alpha \beta} \delta^3(\mathbf{r})$$ de donde es fácil obtener la fórmula del artículo de Wikipedia.

Esta es, si lo desea, una explicación matemática del problema. Para obtener una explicación física, lea DJ Griffiths, Am. J. física. 50, 698 (1982) . Tenga en cuenta también que este término (el término delta) surge solo en la teoría cuántica y en la teoría clásica puede despreciarse.

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PD Estoy usando la siguiente notación:

$$(\text{grad}\,\varphi)_{\alpha} = \nabla_{\alpha} \varphi$$ dónde$\alpha \in \{1,2,3\}$. Así, por ejemplo, $$\nabla_{\alpha} x_{\beta} = \frac{\partial x_{\beta}}{\partial x_{\alpha}} = \delta_{\alpha \beta}$$ $$\nabla_{\alpha} r = \nabla_{\alpha} \left(\sqrt{x_{\beta} x_{\beta}}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x_{\beta} x_{\beta}}} \nabla_{\alpha} \left(x_{\beta} x_{\beta}\right)= \frac{x_{\beta} \nabla_{\alpha} x_{\beta}}{ \sqrt{x_{\beta} x_{\beta}}} = \frac{x_{\alpha}}{r}$$ $$(\mathbf{a},\mathbf{b}) = a_{\alpha} b_{\alpha}$$ Etcétera.

Una diferencia es que esta fórmula es para un dipolo con$p$en el$z$dirección solamente.

Para la función delta, creo que la derivada (los componentes del gradiente) se realiza en un sentido distribucional. Puede ignorarlo con seguridad si no desea evaluar el campo en el origen.

I) La distribución delta de Dirac (y su derivada) en el campo dipolar

$$\Phi ~=~\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{r^3} \tag{1}$$ $$\Downarrow$$ $$\vec{E}~=~-\vec{\nabla}\Phi ~=~ \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{3(\vec{p}\cdot \vec{r})\vec{r}-r^2\vec{p} }{r^5} -\frac{\vec{p}}{3\varepsilon}\delta^3(\vec{r}) \tag{2}$$ $$\Downarrow$$ $$\rho~=~\varepsilon\vec{\nabla}\cdot \vec{E} ~=~ - (\vec{p}\cdot\vec{\nabla})\delta^3(\vec{r}) \tag{3}$$

Es crucial. En particular, la distribución de carga$\rho$del dipolo es la derivada de una distribución delta de Dirac. De lo contrario, no podríamos usar la ec. (3) para confirmar la fórmula del momento dipolar

$$\vec{p}~=~\iiint_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\vec{r}\rho(\vec{r})\tag{4}$$

a través de la integración por partes! Ver también, por ejemplo, esta respuesta Phys.SE.

Aquí la flecha$\Downarrow$denota diferenciación. Tenga en cuenta que el$\frac{2}{3}$ $\left(\frac{1}{3}\right)$de los rhs. de la ec. (3) proviene del primer (segundo) término de la derecha. de la ec. (2), respectivamente! Para entender cómo se realizan las diferenciaciones anteriores, ver la siguiente Sección II.

II) Matemáticamente, a las distribuciones se les puede dar un significado riguroso con la ayuda de funciones de prueba, vea, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Un enfoque más físico es a través de la regularización.

$$\Phi_{\delta} ~=~\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{\left(r^2+\delta\right)^\frac{3}{2}} \tag{1'}$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{align} \vec{E}_{\delta}~=~-\vec{\nabla}\Phi_{\delta} ~=~& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{3(\vec{p}\cdot \vec{r})\vec{r} }{\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} -\frac{\vec{p}}{\left(r^2+\delta\right)^\frac{3}{2}} \right] \cr ~=~& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{3(\vec{p}\cdot \vec{r})\vec{r}-r^2\vec{p} }{\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} -\frac{ \vec{p}\delta}{\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} \right]\end{align} \tag{2'}$$ $$\Downarrow$$ $$\rho_{\delta}~=~\varepsilon\vec{\nabla}\cdot \vec{E}_{\delta} ~=~ - \frac{15(\vec{p}\cdot \vec{r})\delta}{4\pi\left(r^2+\delta\right)^\frac{7}{2}} ~=~ - (\vec{p}\cdot\vec{\nabla}) \frac{3\delta}{4\pi\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} \tag{3'}$$

introduciendo un parámetro de regularización$\delta>0$. Nótese que el potencial regularizado$\Phi_{\delta}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)$es una función suave en todas partes, por lo que la diferenciación de eq. (1') está bien definida y da como resultado las ecs. (2') y (3'), como el lector puede comprobar fácilmente.

Finalmente, recuerde que la distribución delta de Dirac 3D se puede representar como

$$\delta^3(\vec{r})~=~\lim_{\delta \searrow 0^+} \frac{3\delta}{4\pi\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} \tag{5}$$

para derivar las ecuaciones. (2) y (3) de las ecs. (2') y (3'), respectivamente.

Para probar la fórmula (5), frotis con una función de prueba$f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^3)$:

$$\iiint_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~ f( \vec{r})\frac{3\delta}{4\pi\left(r^2+\delta\right)^\frac{5}{2}} ~\stackrel{\begin{matrix}\text{substitution}\\ \vec{r}~\to~\sqrt{\delta}~\vec{r}\end{matrix}}{=}~ \iiint_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~ f( \sqrt{\delta}\vec{r})\frac{3}{4\pi\left(r^2+1\right)^\frac{5}{2}}$$ $$~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leb. dom.}\\ \text{conv. thm.}\end{matrix}}{\longrightarrow}~ f( \vec{0})\iiint_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\frac{3}{4\pi\left(r^2+1\right)^\frac{5}{2}}~=~f( \vec{0})\int_0^{\infty} \! dr~\frac{3r^2}{\left(r^2+1\right)^\frac{5}{2}}$$ $$~=~f( \vec{0})\left[ \! \frac{r^3}{\left(r^2+1\right)^\frac{3}{2}}\right]_{r=0}^{r=\infty}~=~f( \vec{0}) \quad\text{for}\quad \delta ~\searrow~ 0^+.\tag{6}$$