Integración de la ecuación de Poisson en dos regiones diferentes conociendo solo dos condiciones de contorno para los potenciales

Question

Integración de la ecuación de Poisson en dos regiones diferentes conociendo solo dos condiciones de contorno para los potenciales

Física
potencial
electrostática
condiciones de borde
deberes-y-ejercicios

Sørën

La ecuación de Poisson para el potencial eléctrico es:

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ}

$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon}$ Resolver la ecuación requiere dos condiciones de contorno. Estoy confundido sobre el uso de estas condiciones de contorno en algunas situaciones, como por ejemplo la siguiente.

Considere dos planos conductores, ambos a potencial cero ( $V=0$ ). Entre las placas hay una región con una densidad de carga $\rho$ (el gris) y otro sin cargo.

Supongamos que necesito resolver la ecuación de Poisson para encontrar el potencial eléctrico en toda la región. El problema es sobre las condiciones de contorno: ¿cuáles son las condiciones de contorno en este caso?

Seguro que tengo eso $V(0)=0$ y $V(2d)=0$ pero esto no es suficiente ya que necesito dividir el potencial en dos e integrar la ecuación en las dos regiones diferentes.

{\begin{cases} V (0 < X < d) = - \frac{ρ}{ϵ} X^{2} + C_{1} X + C_{2} \\ V (d < X < 2 d) = C_{3} X + C_{4} \end{cases}

$\begin{cases} V(0<x<d)=-\frac{\rho}{\epsilon} x^2+c_1 x+c_2 \\ V(d<x<2d)=c_3x+c_4 \end{cases}$

Otra condición a imponer podría ser que el potencial debe ser continuo en $x=d$ . Las tres condiciones dan

{\begin{cases} C_{2} = 0 \\ C_{4} = - 2 d C_{3} \\ C_{1} + C_{3} = \frac{ρ}{ϵ} d \end{cases}

$\begin{cases} c_2=0 \\ c_4=-2d \,c_3\\c_1+c_3=\frac{\rho}{\epsilon}d \end{cases}$

Pero necesito una condición más para poder resolver la ecuación, y no veo dónde conseguirla.

En general, si la ecuación de Poisson debe resolverse en dos regiones diferentes, ¿cómo puedo manejar situaciones como esta en la que solo tengo dos potenciales conocidos pero uno de los potenciales $V(d)$ es "en común" entre las dos regiones pero no se conoce en principio?

rsaavedra

Ya probaste con la derivada de

V

$V$ ? recuerda que es discontinuo cuando hay carga neta en la interfase entre regiones.

Respuestas (1)

Integración de la ecuación de Poisson en dos regiones diferentes conociendo solo dos condiciones de contorno para los potenciales

Ya probaste con la derivada de $V$ ? recuerda que es discontinuo cuando hay carga neta en la interfase entre regiones.

librecharly · Answer 1

La relación que falta es la continuidad del desplazamiento eléctrico en $x=d$ que, por la misma $\epsilon$ , es la continuidad del campo eléctrico, es decir, la continuidad de las derivadas de los potenciales $V_{left}$ y $V_{right}$ en $x=d$ . Esto produce

\frac{\partial V_{yo mi F t}}{\partial X} |_{X = d} = \frac{\partial V_{r i gramo h t}}{\partial X} |_{X = d}

$\frac{\partial V_{left}}{\partial x}|_{x=d}=\frac{\partial V_{right}}{\partial x}|_{x=d}$ lo que da para sus constantes la cuarta ecuación faltante

- 2 \frac{ρ}{ϵ} d + C_{1} = C_{3}

$-2\frac{\rho}{\epsilon} d+c_1= c_3$

¡Gracias por la respuesta! Pero, dado que hay una distribución de carga para $0<x<d$ no debería $E=\frac{\partial V}{\partial x}$ ser discontinuo en $x=d$ ?
@Soren - no, por constante $\epsilon$ el campo eléctrico debe ser continuo también cuando hay una carga espacial siempre que no tenga una carga superficial (carga areal $\eta$ ) concentrado en $x=d$ , lo que provocaría una discontinuidad $\epsilon (E_{right}-E_{left}) =\eta$ . Pero obviamente este no es el caso.
¡Gracias de nuevo! por "constante $\epsilon$ " Quieres decir que $\epsilon$ tiene el mismo valor para ambos $0<x<d$ y $d<x<2d$ o eso $\epsilon$ es una constante para $0<x<d$ pero puede ser diferente para $d<x<2d$ ? y si en $0<x<d$ hay un dieléctrico cargado con constante $\epsilon$ y para $d<x<2d$ hay vacío con constante $\epsilon_0$ , y $\epsilon \neq \epsilon_0$ , el campo eléctrico sería discontinuo en $x=d$ ?
@Soren: la continuidad del campo eléctrico se mantiene cuando $\epsilon$ es igual en todas partes. En general, se tiene una continuidad de desplazamiento eléctrico. $\epsilon E$ . Si tiene un dieléctrico cargado con permitividad absoluta $\epsilon$ izquierda y aspirar con $\epsilon_0$ bien, esto te daría en $x=d$ la condición $\epsilon E_{left}=\epsilon_0 E_{right}$ .

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Sørën

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