¿Por qué la fuerza del campo eléctrico para un dipolo es 1/r31/r31/r^3? [duplicar]

La interpretación física importante que debe tener en cuenta es que las cargas son opuestas, por lo que la$1/r$pedazos de sus potenciales se cancelan. Veremos que esto suceda explícitamente en las matemáticas en la derivación correcta.

Pero también explica por qué su lógica no es suficiente para entender lo que está pasando: realmente necesita esas dos cargas opuestas para cancelar el$1/r$piezas. Así que no deberías empezar solo$V = kQ/r$y luego encontrar la aproximación para$r$ingresando la respuesta correcta que aún no comprende. Esa no es una forma útil de hacerlo. En su lugar, debe hacer la derivación completa usted mismo.

En primer lugar, espero que pueda ver en la geometría que

$$\begin{equation} r \approx b + \frac{LM}{2} \approx c - \frac{LM}{2}. \end{equation}$$ La razón es que a medida que tomas $P$muy lejos, esas líneas $c$, $b$, y $r$todos se vuelven básicamente paralelos y se aprietan unos contra otros. Entonces $c$, $b$, y $r$simplemente represente diferentes puntos a lo largo (aproximadamente) de la misma línea.

Ahora, aceptando la ecuación anterior, puedes ver inmediatamente que$LM \approx c-b$. También puedes ver que

$$\begin{align} r^2 &\approx \left(b + \frac{LM}{2}\right)\left(c -\frac{LM}{2} \right) \\ &\approx bc + (c-b)\frac{LM}{2} - \frac{LM^2}{4} \\ &\approx bc + LM\frac{LM}{2} - \frac{LM^2}{4} \\ &\approx bc + \frac{LM^2}{4} \end{align}$$ Pero cuando $r \gg a$(y porqué $a \geq LM$), lo sabemos $LM^2/4$debe tener un pequeño efecto en el resultado, por lo que podemos simplemente ignorarlo: $r^2 \approx bc$. Eso explica las dos aproximaciones que se muestran en la figura. Pero sostengo que eso no es suficiente para comprender realmente el potencial total.

Así que en la derivación real. Estarás de acuerdo en que (sin ninguna aproximación) la expresión completa del potencial es

$$\begin{align} V &= \frac{kQ} {b} - \frac{kQ} {c}. \end{align}$$ ¡Observe ese signo menos crucial! A continuación, podemos comenzar a insertar nuestras aproximaciones: $$\begin{align} V &\approx \frac{kQ} {r-LM/2} - \frac{kQ} {r+LM/2} \\ &\approx \frac{kQ} {r-\frac{a\cos\theta}{2}} - \frac{kQ} {r+\frac{a\cos\theta}{2}} \\ &\approx \frac{kQ} {r} \frac{1}{1-\frac{a\cos\theta}{2r}} - \frac{kQ} {r} \frac{1}{1+\frac{a\cos\theta}{2r}} \end{align}$$ En esa última línea, no he hecho nada extravagante; Simplemente saqué el denominador. Pero ahora, eso nos permite usar la aproximación $\frac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$Para pequeños $x$. En este caso $x$es $a\cos\theta / 2r$, y desde $r \gg a$esto es pequeño, por lo que podemos usar esa aproximación: $$\begin{align} V &\approx \frac{kQ} {r} \left(1+\frac{a\cos\theta}{2r}\right) - \frac{kQ} {r} \left(1-\frac{a \cos\theta}{2r}\right) \\ &\approx \frac{kQ} {r} \frac{a\cos\theta}{r} \\ &\approx \frac{kQa\cos\theta} {r^2}. \end{align}$$

El punto clave es que$r$(la distancia al centro del dipolo) no es lo mismo que las distancias$b$y$c$de su carga de prueba a las cargas positivas y negativas del dipolo.

Si la separación de dipolos no es muy grande, entonces eso no es gran cosa, ya que$1/r$y$1/b$generalmente serán bastante similares, pero tendrán ligeras diferencias, y esas son fáciles de calcular como una serie de potencias en$a$cuando eso es pequeño:

$$\frac{1}{b} = \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2}+ O\left(\frac{a^2}{r^3}\right) \approx \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2}.$$

Ahora, aquí está la otra parte importante: debido a que las cargas son iguales pero opuestas, el término principal en esta serie ($1/r)$será el mismo, por lo que se cancelará, pero las correcciones van en direcciones opuestas, de modo que cuando restas los dos potenciales, las correcciones se suman constructivamente:

$$\begin{align} \frac{1}{b} &\approx \frac1r + \frac{a\cos(\theta)}{2r^2} \\ \frac{1}{c} &\approx \frac1r - \frac{a\cos(\theta)}{2r^2} \\ \implies \frac{1}{b} - \frac{1}{c} &\approx \frac{a\cos(\theta)}{r^2}. \\ \end{align}$$ Aquí es donde el $\propto 1/r^2$potencial proviene de - como una corrección de orden principal de las dos distancias, y se obtiene más limpiamente a través de la serie de Taylor de $1/b$cuando es desplazado.

Eso significa que, si insiste en ver cosas en la geometría específica de su diagrama, entonces la geometría solo es exacta en el límite donde$r\gg a$, es decir, cuando las líneas$(-Q)P$,$LM$y$(+Q)P$son paralelos; si no son paralelos, entonces la identidad$c-b=LM$Es falso. Eso significa que la identidad geométrica que has escrito,

$$r= \frac{bc}{c-b},$$ nunca puede tener razón, porque no hace referencia a $a$. Si desea construir una versión de esa identidad que se mantenga, entonces su mejor apuesta es trabajar a partir de la ley del coseno de ambos triángulos, $$\begin{align} b^2 & = r^2 + \frac{1}{4}a^2 - ra\cos(\theta),\\ c^2 & = r^2 + \frac{1}{4}a^2 + ra\cos(\theta). \end{align}$$ De este modo:

• Si lo que quiere es el potencial, entonces lo que debe hacer es reformularlos como

  $$\frac{1}{b} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1-\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}}},$$ y expande la raíz cuadrada usando la serie binomial de Newton.

• Si lo que quieres es la diferencia de longitud$c-b$, entonces es mejor hacerlo a través de

  $$b-c = r\left[\sqrt{1+\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}} - \sqrt{1-\frac ar\cos(\theta) + \frac{a^2}{r^2}}\right]$$ y nuevamente expandiendo usando la serie binomial.

• Si lo que quieres es una versión correcta de$r=bc/(c-b)$, entonces puedes poner esas expresiones para obtener

  $$\frac{bc}{c-b} \approx \frac{r^2}{a\cos(\theta)},$$ y ya que estás mirando el$r\gg a$límite, eso te dice qué tan mal está el$r=bc/(c-b)$la identificación está en esta geometría.