∫10xr−11+xsdx=∑∞n=0(−1)nr+ns∫01xr−11+xsdx=∑n=0∞(−1)nr+ns\int_0^1\large\frac{x^{ r-1}}{1+x^s}\,dx=\sum_{n=0}^\infty\large\frac{(-1)^n}{r+ns} para cualquier r,s>0r ,s>0r,s > 0 [cerrado]

PISTA:

Empezar con la identidad

$$\frac1{1+x^s}=\sum_{n\ge0}(-1)^nx^{ns}$$

(que vale para$|x|<1$) y justifica por qué puedes intercambiar el orden de integración y suma.

$$\frac{x^{r-1}}{1+x^s} = x^{r-1}\cdot\frac 1 {1 - (-x^s)} = x^{r-1} \cdot\left( 1 - x^s + x^{2s} - x^{3s} + \cdots \right)$$ La serie converge a la expresión de la izquierda ya que$0<x<1.$

$$\int_0^1 x^{r-1} x^{ns} \, dx = \frac 1 {ns+r}$$

$$0 \le x^{r-1}\big(1 - x^s\big) \le x^{r-1} \big(1 - x^s + x^{2s}-\cdots + (-1)^n x^{ns}\big) \le x^{r-1}$$

$$\int_0^1 x^{r-1} \,dx < +\infty.$$ La función que se integra en la última línea anterior puede servir como función dominante para mostrar que se aplica el teorema de convergencia dominada.