Probabilidad de tirar un dado de dos caras diferentes y que la suma sea un número

tldr, la fórmula final para un dA y un dB con una suma objetivo de al menos N será:

Si se acerca por la fuerza bruta, a veces es mucho más fácil averiguar la probabilidad de no satisfacer su propiedad. Tome su ejemplo de "al menos 3". La única forma de no obtener al menos tres es tirando un uno en ambos dados, lo que ocurre con probabilidad$\frac{1}{4\cdot 6}$. De manera similar, no obtener al menos un cuatro ocurriría con un (1,1), un (1,2) o un (2,1) para una probabilidad de$\frac{3}{24}$.

A ver si podemos generalizar. Supongamos que hay dos dados de seis caras y estamos buscando la probabilidad de obtener "al menos un seis".

Puede ver que los números negros están por debajo de seis y deben descartarse, pero todos los números por encima de la línea verde son buenos (incluidos los que no se muestran en la imagen). Hay un total de$6\cdot 6=36$posibilidades que son igualmente probables. Puede notar que los números negros forman un triángulo y cada capa tiene una posibilidad más. Podemos contar rápidamente cuántos espacios se utilizan en un triángulo, ya que estos son los que se conocen como números de triángulo . En este caso, hay cuatro capas en nuestro triángulo, por lo que hay$T(4)=\binom{5}{2}=10$espacios utilizados. Así, en este ejemplo, nuestra probabilidad es$\frac{10}{36}$para no obtener al menos un seis, por lo que es$\frac{36-10}{36}=\frac{26}{36}$para sacar al menos un seis.

Entonces, esto funciona muy bien si nuestra línea se encuentra dentro del ámbito de posibilidad para ambos dados, pero ¿qué sucede si cambiamos el número o el tamaño del dado?

En este ejemplo, consideramos la probabilidad de sacar al menos un 8 en d4 y d9 (sí, sé que d9 normalmente no existe... trabaja conmigo). Puedes ver dos triángulos aquí. El triángulo formado por todos los números negros y rojos, así como un triángulo formado solo por números rojos. Contamos el número de espacios utilizados en el triángulo más grande como$T(6)=\binom{7}{2}=21$y deseamos tirarlos. Sin embargo, no podemos tirarlos a la basura ya que los números rojos no eran posibles en primer lugar. Nosotros contamos$T(2)=\binom{3}{2}=3$de estos, por lo que hay$18$deseamos no considerar. Es decir, la probabilidad de no sacar al menos un 8 es$\frac{(21-3)}{9\cdot 4}$, por lo que la probabilidad de sacar al menos un 8 es$\frac{9\cdot 4 - (21-3)}{9\cdot 4}$

De manera similar, es posible que tengamos que eliminar dos triángulos rojos si nuestro número objetivo es demasiado alto para ambos dados, como en el siguiente escenario:

En este ejemplo, consideramos la pregunta "¿cuál es la probabilidad de sacar al menos un 7 en dos d4". Nos acercamos nuevamente a través de la pregunta opuesta de cuál es la probabilidad de sacar un 6 o menos usando el triángulo negro. El triángulo negro es de tamaño$T(5)=15$pero hay dos triángulos rojos cada uno de tamaño$T(1)$eliminar para una probabilidad total de$\frac{13}{16}$que no saca al menos un 7, lo que significa que hay una probabilidad de$\frac{3}{16}$que sacas al menos un 7.

Podemos generalizar todo esto en la siguiente fórmula.

Con dos dados, uno con$A$número de lados, y el otro con$B$número de lados, la probabilidad de sacar al menos una suma de$N$es:

Donde nuevamente, la fórmula para el número del triángulo se da como$T(k) = \binom{k+1}{2} = \frac{k^2+k}{2}$

El mismo método puede funcionar si se generaliza a tres dados usando números tetraédricos en su lugar, cortando cada esquina de nuestra cuadrícula tridimensional según sea necesario.

expandir$(x+x^2+x^3+x^4)(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)$

Los coeficientes de$x^k$le dará el número de formas de obtener una suma de exactamente k

[ Cómo obtener el$\ge$el formulario que necesita debe ser obvio]

PD:

Podría obtener una suma de 5, digamos, como 1+4, 2+3, 3+2 y 4+1

Puedes ver que esto corresponde exactamente a sumar los coeficientes de$x^5$

$x\cdot x^4 + x^2\cdot x^3 + x^3\cdot x^2 + x^4\cdot x$en la expresión

No estoy seguro de lo que está pidiendo, pero para su tabla de valores, para un total mínimo$n$las probabilidades son$f(n)=(n-1)(n-2)/48$para$n<=6$, y$(12-n)(11-n)/48=f(13-n)/48$para$n>6$.