Al lanzar un dado justo 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia creciente de números?

Question

Al lanzar un dado justo 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia creciente de números?

David

Juego: Lanzo un dado 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una secuencia estrictamente creciente de números?

Mi pensamiento inicial es el siguiente: condicionamos que R1 (la primera tirada) sea un 1, 2 o 3 (lo que sucede con una probabilidad de 1/2).

Ahora, observamos R2: hay una probabilidad de 1/6 de que R1 = R2 y una probabilidad de 5/6 de que R2 sea diferente de R1. En el caso de que R2 no sea igual a R1, por simetría obtenemos que R2>R1 con una probabilidad de 1/2. Por lo tanto, la probabilidad de que R2>R1 sea 5/12.

Continuando de la misma manera...

Hay una probabilidad de 2/6 de que R3 sea igual a R1 o R2. Por lo tanto, hay una probabilidad de 4/6 de que sea diferente. Usando el mismo argumento anterior, hay una probabilidad de 1/6 de que R3 > R2 > R1. Continuando de manera similar,

P(R4 > R3 > R2 > R1) = (1/2) * (5/12) * (4/36) * (3/144)

Sin embargo, tengo la sensación de que estoy haciendo algo terriblemente mal. Cualquier ayuda sería apreciada.

david mitra

No tiene simetría como se usa en su tercer párrafo. Sabes que el primer dado fue

1

$1$ ,

2

$2$ , o

3

$3$ . La probabilidad de que la segunda tirada supere a la primera en este caso es estrictamente mayor que

1 / 2

$1/2$ (ya que, con probabilidad

1 / 2

$1/2$ , el segundo rollo es uno de

4

$4$ ,

5

$5$ , o

6

$6$ ).

Respuestas (2)

Al lanzar un dado justo 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia creciente de números?

No tiene simetría como se usa en su tercer párrafo. Sabes que el primer dado fue $1$ , $2$ , o $3$ . La probabilidad de que la segunda tirada supere a la primera en este caso es estrictamente mayor que $1/2$ (ya que, con probabilidad $1/2$ , el segundo rollo es uno de $4$ , $5$ , o $6$ ).

Arturo · Answer 1

Necesita que todos sean diferentes (lo que sucede con probabilidad $\frac{5\cdot 4 \cdot 3}{6^3}$ ), y dado esto, necesita que salgan exactamente en el orden correcto, lo que tiene probabilidad $\frac{1}{4!}$ . En total, entonces:

PAG (R_{1} < R_{2} < R_{3} < R_{4}) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{3} \cdot 4!} = \frac{5}{2 \cdot 6^{3}} \approx 0.01157

$P(R_1<R_2<R_3<R_4) = \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{6^3\cdot 4!} = \frac{5}{2\cdot 6^3}\approx 0.01157$

Llegué al mismo número... pero la tuya es una forma mucho mejor (más rápida) de llegar allí :)

donantonio · Answer 2

Sugerencia: obtener una secuencia estrictamente creciente de $\, \,$ 4 números es lo mismo que calcular el número de subconjuntos con $\,4\,$ elementos que un conjunto con $\,6\,$ elementos tiene: cada vez que tienes tal $\,4$ -subconjunto tiene una secuencia creciente, y diferentes subconjuntos se fijan a diferentes secuencias crecientes.

¿Puedes tomarlo ahora desde aquí?

Al lanzar un dado justo 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia creciente de números?

David

david mitra

Respuestas (2)

Arturo

David

donantonio

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