¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga el mismo conjunto de resultados cuando se lanzan nnn dados justos dos veces?

Tiene distribución multinomial con$n$juicios,$k = 6$resultados y todo$p_i = \frac{1}{6}$. Entonces la probabilidad de obtener dos tiradas iguales es$\sum\limits_{x_1 + \ldots + x_6 = n} \left(\frac{n!}{x_1! \ldots x_6!}\cdot \frac{1}{6^n}\right)^2$. Es poco probable que haya una buena forma cerrada para ello. Para ver asintótica, por ejemplo, esta respuesta en mathoverflow.

Por ejemplo, si tenemos$n = 2$, necesitamos sumar todas las variantes para particionar$2$en$6$términos no negativos. Hay$15$de ellos con$2$unos y$4$ceros:$1+1+0+0+0+0$,$1+0+1+0+0+0$, ...,$0+0+0+0+1+1$y$6$con$1$dos y$5$ceros:$2+0+0+0+0+0$,$0+2+0+0+0+0$, ...

La primera variante dará en nuestra suma$15$términos iguales a$\left(\frac{2!}{1!1!0!0!0!0!} \cdot\frac{1}{36}\right)^2 = \frac{1}{18^2}$. segundo dará$6$términos iguales a$\left(\frac{2!}{2!0!0!0!0!0!} \cdot \frac{1}{36^2}\right)^2 = \frac{1}{36^2}$. entonces la respuesta es$\frac{1}{18^2}\cdot 15 + \frac{1}{36^2}\cdot 6 \approx 0.05$.