Lanzar un dado de 444 caras hasta que aparezca un 111

Por lo general, en estos casos intentas aprovechar el hecho de que después de 3 turnos el juego se repite. Eso significa que P(A) (annie gana) es básicamente$P(A) = c_1 + c_2 \cdot P(A)$. Encuentre las constantes y resuelva para$P(A)$.

Un enfoque alternativo al sugerido por los demás es que puedes pensar en términos de rondas y turnos , donde cada turno se refiere a cada lanzamiento individual del dado por parte de un jugador, mientras que una ronda es cuando los tres jugadores tienen un turno.

Permita que el juego continúe hasta que se complete la ronda actual para que todos los jugadores hayan tenido el mismo número de turnos, incluso si ya se ha determinado un ganador . Notará que no importa cuántas rondas se hayan jugado, el ganador general del juego depende únicamente de los resultados de la ronda final.

Ahora, puede calcular la probabilidad condicional de que dada una ronda en particular sea la ronda final que$C$fue el ganador Para eso, la primera tirada de la ronda no debe haber ganado, la segunda tirada de la ronda no debe haber ganado, y la tercera tirada de la ronda debe haber ganado mientras estamos condicionando que esta fue la ronda final, es decir, no es el caso que nadie ganó.

Las probabilidades relacionadas de$A$ganar y$B$ganar son$\frac{\frac{1}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^3}=\frac{16}{37}$y$\frac{\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^3}=\frac{12}{37}$respectivamente.

Clara gana en su primera tirada cuando Annie y Bill no sacan un 1 en su primera tirada y Clara saca un 1. La probabilidad de eso es$\left(\frac34\right)^2\cdot \frac14$. La probabilidad de que Clara gane en su segunda tirada es$\left(\frac34\right)^5\cdot \frac14$. Ahora puedes usar la suma infinita para calcular la probabilidad de que Clara gane el juego.

Para aclarar lo que ya se ha dicho, un enfoque es pensar en cada ronda como un experimento independiente y utilizar el hecho de que si Clara no gana en la primera ronda, el experimento se reinicia.

Otra forma de expresar estos eventos es:

Para que Clara gane en la ronda 1, Annie y Bill tienen que fallar en la tirada y Clara obtiene un 1, por lo que esta probabilidad es$(3/4)(3/4)(1/4)$. La probabilidad de que nadie gane en la ronda 1 es$(3/4)^3$. Ahora el experimento se ha 'reiniciado' ya que en la ronda 2 tenemos todas las mismas probabilidades que en la ronda 1.

Con esto en mente, podemos establecer una ecuación relativamente simple. Dejar$W$sea ​​el evento que gane Clara, y conectando a lo anterior tenemos

para resolver por$P(W)$es un poco de álgebra:

Epílogo: este es el mismo tipo de trabajo que prueba sumas infinitas, por lo que tenías razón al suponer que existe una relación entre ellas y este problema. En este entorno particular, creo que el marco de 'análisis de primer paso' es una forma más intuitiva de obtener el mismo resultado. Notarás que la fracción final, antes de la simplificación, se parece mucho a la forma cerrada de una suma infinita.