Probabilidad de conseguir full house en poker

Question

Probabilidad de conseguir full house en poker

Estadísticas
Matemáticas
probabilidad
combinatoria
teoría de probabilidad
Matemáticas discretas

tarkovski123

Tengo este problema que he resuelto, pero usando dos métodos diferentes. Soy bastante nuevo en combinatoria y quiero saber cómo entender intuitivamente la diferencia entre los siguientes dos métodos.

El problema consiste en calcular la probabilidad de obtener un full house en una mano de póquer de 5 cartas.

En primer lugar, resuelvo esto simplemente diciendo que

$P($ conseguir casa llena $)=\frac{2 {13\choose 2} {4 \choose 3} {4 \choose 2}}{{52 \choose 5}}$ . Esta es la respuesta correcta según mi libro de texto. Sin embargo, en mi primer intento de resolver esto olvidé el factor 2 en el numerador. Mi razonamiento es el siguiente: todas las formas posibles de conseguir un full consisten en todas las formas en que podemos combinar dos rangos diferentes (es decir, ${13 \choose 2}$ ) multiplica por todas las formas posibles de elegir 3 cartas de 4 palos, multiplica por todas las formas posibles de elegir 2 cartas de 4 palos. Ahora bien, todo esto me parece lógico. Lo que me hace dudar si realmente entiendo lo que estoy haciendo es cómo se activa el factor 2. Estoy pensando: debido a que elegimos dos rangos diferentes sin tener en cuenta el orden, tenemos que compensar esas combinaciones y, por lo tanto, multiplicar con $2!$ , porque obviamente sí importa si yo (por ejemplo) elijo los rangos (as, caballos) y en esta secuencia elijo tres as y dos caballos.

Por otro lado, puedo resolver el problema usando el método descrito aquí: https://math.stackexchange.com/a/808328/518320

Lo cual también parece intuitivamente claro, pensando en la forma en que el usuario describe el proceso en ese hilo.

¿Cuál es la diferencia entre los dos métodos? Tal vez esto sea obvio, pero soy nuevo en combinatoria. ¿Y mi razonamiento anterior es exacto?

¡Gracias!

lulú

Habría dicho: elige el traje para el triple, eso es

(\binom{13}{1})

$\binom {13}1$ . Luego elige el triple de rangos,

(\binom{4}{3})

$\binom 43$ . Luego elige el traje para la pareja,

(\binom{12}{1})

$\binom {12}1$ , luego elige el par,

(\binom{4}{2})

$\binom 42$ . Eso es verdad

2 \times (\binom{13}{2}) = (\binom{13}{1}) \times (\binom{12}{1})

$2\times \binom {13}2= \binom {13}1\times \binom {12}1$ pero encuentro esto menos intuitivo.

NF Taussig

@lulu Si bien sus cálculos son correctos, confundió los rangos con los trajes. Los cuatro palos son corazones, tréboles, diamantes y picas. Los trece rangos son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.

lulú

@NFTaussig absolutamente correcto. Me declaro falta de café.

Respuestas (3)

Probabilidad de conseguir full house en poker

Habría dicho: elige el traje para el triple, eso es $\binom {13}1$ . Luego elige el triple de rangos, $\binom 43$ . Luego elige el traje para la pareja, $\binom {12}1$ , luego elige el par, $\binom 42$ . Eso es verdad $2\times \binom {13}2= \binom {13}1\times \binom {12}1$ pero encuentro esto menos intuitivo.
@lulu Si bien sus cálculos son correctos, confundió los rangos con los trajes. Los cuatro palos son corazones, tréboles, diamantes y picas. Los trece rangos son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.
@NFTaussig absolutamente correcto. Me declaro falta de café.

Enrique · Answer 1

Son esencialmente lo mismo dando $156$ formas de elegir rangos, pero si quieres hacer una distinción:

Elija dos rangos y luego elija uno de esos dos para que sean los tres, de modo que el otro sea el par
$(\binom{13}{2}) (\binom{2}{1})$ ${13 \choose 2}{2 \choose 1}$
Elija un rango para ser los tres y luego elija otro rango para ser el par
$(\binom{13}{1}) (\binom{12}{1})$ ${13 \choose 1}{12 \choose 1}$

y luego multiplicas esto por ${4 \choose 3}{4 \choose 2}$ y dividir por ${52 \choose 5}$

Haciendo lo mismo para que dos pares obtengan $858$ formas de elegir los rangos por varios métodos:

Elija tres rangos y luego elija uno de esos tres para que sea el único para que los otros sean los pares
$(\binom{13}{3}) (\binom{3}{1})$ ${13 \choose 3}{3 \choose 1}$
Elija tres rangos y luego elija dos de esos tres para que sean los pares, de modo que el otro sea el único
$(\binom{13}{3}) (\binom{3}{2})$ ${13 \choose 3}{3 \choose 2}$
Elija un rango para que sea el soltero y luego elija otros dos rangos para que sean las parejas.
$(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2})$ ${13 \choose 1}{12 \choose 2}$
Elija dos rangos para que sean los pares y luego elija otro rango para que sea el único
$(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1})$ ${13 \choose 2}{11 \choose 1}$

y luego multiplicas esto por ${4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 2}$ y dividir por ${52 \choose 5}$

david k · Answer 2

Las expresiones $2\binom{13}{2}$ y $\binom{13}{1}\binom{12}{1}$ ambos son equivalentes a "elegir $2$ objetos de $13$ donde importa el orden de elección". En otras palabras, queremos permutaciones de $2$ objetos fuera de $13$ en lugar de combinaciones.

La forma de obtener permutaciones de $k$ objetos fuera de $n$ es multiplicar $k$ enteros consecutivos juntos, donde $n$ es el mayor de los enteros multiplicado: $n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$ Por ejemplo, las permutaciones de $2$ objetos fuera de $n$ dar $13\cdot12$ posibles permutaciones. Y desde $\binom n1 = n,$ $13\cdot12 = \binom{13}{1}\binom{12}{1}.$

Pero a menudo el número de permutaciones se escribe $\dfrac{n!}{(n-k)!},$ porque

\frac{norte!}{(norte - k)!} = norte (norte - 1) (norte - 2) \dots (norte - k + 1) .

$\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$ Para obtener el número de combinaciones de

k

$k$ objetos fuera de

n

$n$ (sin tener en cuenta el orden de los objetos), dividimos por

k!,

$k!,$ ya que ese es el número de secuencias diferentes en las que cada combinación de

k

$k$ los objetos pueden ocurrir como una permutación. Entonces obtenemos

(\binom{norte}{k}) = \frac{norte!}{(norte - k)! k!} .

$\binom nk = \frac{n!}{(n-k)!k!}.$ Esto también significa que

k! (\binom{n}{k})

$k!\binom nk$ es otra forma de escribir el número de permutaciones de

k

$k$ objetos fuera de

n .

$n.$

En resumen, todo es realmente lo mismo escrito de diferentes maneras.

cafematematicas · Answer 3

Los dos rangos se distinguen una vez que obtienes un full house en particular. Digamos que obtienes tres reyes y dos reinas. Eso difiere de obtener tres reinas y dos reyes. asi que deberia ser $13 \cdot 12$ maneras de elegir los dos rangos. esto es lo mismo que $2 \cdot \binom{13}{2}.$

Probabilidad de conseguir full house en poker

tarkovski123

lulú

NF Taussig

lulú

Respuestas (3)

Enrique

david k

cafematematicas

¿Cuál es la probabilidad de que una caminata aleatoria que comienza en 0 llegue a +2 en 2 pasos, 3 pasos, 4 pasos, etc.? [duplicar]

Probabilidad de que dos elementos particulares se agrupen en una partición aleatoria con tamaños fijos

Una pregunta sobre un caso especial del principio de inclusión-exclusión

lanzamiento de moneda y probabilidad condicional

Normalidad asintótica del estimador del parámetro de distribución uniforme

Problema de tarea Uso del teorema del límite central

Probabilidad de sacar 3 bolas rojas en 9 intentos en cualquier orden

Varianza de la suma de productos

Problema de probabilidad de envío de cartas

Número de palabras de 5 letras con al menos una letra doble