Problema de tarea Uso del teorema del límite central

Dejar$X_{1}, ...,X_{n}$ser iid variables aleatorias y dejar$\sigma$denotan un parámetro de su función de densidad común. Se sabe que$\operatorname{E}|X_i|=\sigma$y$\operatorname{Var}|X_i|=\sigma^2$. El MLE es$\hat{\sigma} =1/n\sum_{i=1}^{n}|X_{i}|$. Mi pregunta: ¿por qué es$\sqrt{n}(\hat{\sigma} - \sigma)$asintóticamente normal distribuida con media$0$y varianza$\sigma^2$? Según wikipedia, eso solo es cierto cuando$\hat{\sigma} =1/n\sum_{i=1}^{n}X_{i}$? ¿Se mantendrá el teorema del límite central si aplica una función arbitraria?$g(X_i)$como en este caso la función de valor absoluto?