Varianza de la suma de productos

Dejar$\{X_i\}$ser iid variables aleatorias donde$X_i \sim N(\mu_x,\sigma^2)$y$\{Y_i\}$-iid variables aleatorias donde$Y_i \sim N(\mu_y,\sigma^2)$. Cada$X$también es independiente de$Y$. Necesito encontrar tal variación:

$$Var\Big(\sum_{\substack{i=1,...,n\\ j=1,...,n}} X_i Y_j \Big)$$

Traté de transformarlo en sumas de varianzas y covarianzas, pero luego no pude calcular la covarianza. Hice algo como esto, pero siento que está mal.

$$\sum_{\substack{1\leq i < k \leq n\\ 1\leq j < l \leq n \\ i \neq k \lor j\neq l}} Cov(X_iY_j,X_k Y_l) = \sum_{\substack{i=1,...,n\\ 1\leq j < l \leq n}} Cov(X_iY_j,X_i Y_l) + \sum_{\substack{1\leq i < k \leq n\\ j=1,..., n}}Cov(X_iY_j,X_k Y_j)$$ $$+ \sum_{i\neq j \neq k \neq l} Cov(X_iY_j,X_k Y_l)+ \sum_{\substack{ i \neq j \neq k\\ j=1,..., n}}Cov(X_iY_j,X_k Y_k) + \sum_{\substack{ i \neq k \neq l\\ j=1,..., n}}Cov(X_iY_i,X_k Y_j)$$

Agradecería cualquier consejo sobre cómo calcular esto.