Probabilidad de que dos elementos particulares se agrupen en una partición aleatoria con tamaños fijos

Un total de$n = 3 n_1 + 2 n_2 + n_3$artículos distintos etiquetados$1$a$n$se van a poner en$n_1 + n_2 + n_3$cajas distintas. Para ello, los artículos se dividen en grupos: hay$n_1$grupos de tres elementos,$n_2$grupos de dos elementos, y$n_3$grupos de un elemento. Cada grupo se coloca en su propia caja. ¿Cuál es la probabilidad de que los elementos$1$y$2$están en la misma caja, ya sea como un grupo solo o en un grupo de tres con otro artículo?

Me estoy acercando a este problema combinatoriamente. El primer obstáculo con el que me encontré fue al determinar el tamaño del espacio muestral. ¿Cómo puedo contar las particiones de$n$en el$n_1$,$n_2$,$n_3$grupos de tamaños$3$,$2$, y$1$¿respectivamente?

Al principio, pensé en algo como

$$\binom{n}{3} \binom{n-3}{3} \binom{n-6}{3} \cdots \binom{n - 3(n_1 + 1)}{3}$$ para formar el $n_1$grupos de tres elementos, y multiplicándolos por $$\binom{n - 3 n_1}{2} \binom{n - 3 n_1 - 2}{2} \cdots \binom{n - 3 n_1 - 2(n_2 + 1)}{2}$$ para formar el $n_2$grupos de dos elementos, y así sucesivamente. Esto da muchas cancelaciones agradables, lo que resulta en $$\frac{n!}{6^{n_1} \cdot 2^{n_2} \cdot 1^{n_1}}$$ por el número de particiones.

Sin embargo, ¿no impone esto un orden fijo en las cajas, en algún sentido? Este proceso requiere esa casilla$1$contener un grupo de tres elementos, por ejemplo. ¿Cómo puedo corregir esto?

A continuación, para contar el número de particiones en las que los elementos$1$y$2$están en el mismo grupo, considero dos casos.

Primero, forman un grupo de dos. En ese caso, repito el mismo proceso anterior para contar el número de formas en que$n-2$Los elementos se pueden dividir en$n_1$grupos de tres,$n_2 - 1$grupos de dos y$n_3$grupos de uno.

Segundo, forman un grupo de tres, con algún otro elemento. Hay$n - 2$opciones para el tercer elemento con el que se pueden agrupar. Luego, repito el mismo proceso para contar el número de formas en que dividir$n-3$artículos en$n_1 - 1$grupos de tres,$n_2$grupos de dos y$n_3$grupos de uno.

Finalmente, la suma de estos dos conteos y la división por el tamaño del espacio muestral da la probabilidad.

¿Es sensato este enfoque?