Problema de probabilidad de envío de cartas

Aquí hay otra pregunta del libro de V. Rohatgi y A. Saleh. Me gustaría volver a pedir ayuda. Aquí va:

Considere una ciudad con norte gente. Una persona envía dos cartas a dos personas separadas, a cada una de las cuales se le pide que repita el procedimiento. Así, por cada carta recibida, se envían dos cartas a personas separadas elegidas al azar (independientemente de lo que haya sucedido en el pasado). ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera norte etapas la persona que comenzó el juego de cartas en cadena no recibirá una carta?

Estoy pensando en solucionar esto a través de la complementación, es decir, lo que tengo hasta ahora es que para norte = 1 ,

PAG { la persona que comenzó el juego de cartas en cadena recibirá una carta } = 0
para norte = 2 ,
PAG { la persona que inició el juego de cartas en cadena recibirá una carta del primer remitente }
= PAG { la persona que inició el juego de cartas en cadena recibirá una carta del segundo remitente }
= norte − 2 C 1 norte − 1 C 2
PAG { la persona que inició el juego de cartas en cadena recibirá cartas de ambos 2dos remitentes }
= ( norte − 2 C 1 norte − 1 C 2 ) 2
Entonces simplemente calcularía la probabilidad de la unión de los eventos elementales, luego continuaría para cada norte . Ahora, lo encuentro demasiado tedioso y no estoy tan seguro de si es correcto. ¿Alguien puede ayudar por favor? Gracias.

La complementación solo ayuda con la mitad de los problemas del mundo. A lo sumo. Tal vez deberías intentar hacerlo sin complementación.
También agradecería si alguien me puede ayudar a hacer esto sin usar la complementación. Gracias.

Respuestas (2)

Deja que el escenario k = 0 denote a la persona que inició la cadena (digamos A) enviando las dos primeras letras a dos personas diferentes. Supongo que está preguntando por la probabilidad de que después de la etapa k = norte , A no recibe una carta.

Además, según los enunciados del problema, incluso si una persona recibe metro > 1 cartas en una etapa o entre etapas, lo único que se cuida es que cada carta resulte en un par de cartas enviadas a dos personas distintas, independientemente de si fueron destinatarios de otras cartas del mismo remitente.

En esta situación, solo nos preocupamos de cuántos pares de letras de este tipo se envían a través de las etapas. k = 1 , 2 , . . . norte . Esto es L = 2 + 4 + . . . 2 norte = 2 ( 2 norte − 1 ) .

Cada vez que se recibe una carta, hay ( norte − 1 ) ( norte − 2 ) formas de seleccionar dos personas diferentes para enviarles un par de cartas. Si A no va a ser uno de ellos, esta elección se reduce a ( norte − 2 ) ( norte − 3 ) . Por lo tanto, la probabilidad de que A no reciba una carta en este momento es
pag = ( norte − 2 ) ( norte − 3 ) ( norte − 1 ) ( norte − 2 ) = norte − 3 norte − 1 .

Como este evento ocurre independientemente L veces, la probabilidad total es pag L = ( norte − 3 norte − 1 ) 2 ( 2 norte − 1 ) .

Gracias @Macavity. La solución está bien explicada. Lo aprecio mucho.
Tengo que preguntar, creo que el número total de cartas a enviar que deben contabilizarse debe L − 2 en lugar del original L , desde la primera 2 cartas fueron enviadas inicialmente por A, por lo tanto tiene probabilidad 0 de llegar a A. ¿Estoy en lo correcto en esto? Gracias.
El primer par de letras que se envía ya no se cuenta en L, por eso empezamos a contar a partir de 2 personas que envían pares de letras. Pruébelo para algunos valores bajos de n y vea.
De hecho, los revisé @Macavity. Así que creo que tienes que restar 2 del original L tu tenias. Desde la primera etapa, creo, identifica la primera 2 cartas enviadas, por lo tanto, debemos comenzar el conteo en 4 ; de este modo,
4 + 8 + . . . + 2 norte = 4 ( 2 norte − 1 − 1 )
se contabilizan las letras "independientes". Por favor verifique si puede, señor. Gracias.
Para norte = 1 , tenemos A enviando dos cartas para k = 0 y sus destinatarios enviando dos cada uno por k = norte = 1 . Así que exactamente dos eventos con probabilidad pag cada, L = 2 = 2 ( 2 1 − 1 ) .
Ah bien. Ahora creo que nuestras perspectivas diferían en el sentido de que consideraste la etapa en la que A envía dos letras como la etapa 0, mientras que yo pensé en tenerla como la etapa 1. De todos modos, tu idea fue genial. Fue de mucha ayuda. Gracias
No hay problema, sospeché que podría haber ambigüedad en cómo norte está definido, razón por la cual mi suposición se estableció al principio.

Pista: usa la independencia de los eventos. ¿Cuántas cartas son enviadas por no 1?

Por cada carta que envía no 1, ¿cuál es la probabilidad de que 1 no reciba esta carta?

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