Principio de acción y derivada funcional en CM

Question

Principio de acción y derivada funcional en CM

acción
Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional

SaidurRahman

Quiero extremizar esta bien conocida acción.

S [ϕ] = \int L (ϕ (t), \dot{ϕ} (t)) d t

$S[\phi]=\int \mathcal{L}(\phi(t),\dot{\phi}(t)) dt$ El resultado también es bien conocido. Resulta ser la ecuación EL. El principio de acción establece que la variación funcional o variación de acción debe ser cero para un determinado

ϕ

$\phi$ es decir,

d S = 0

$\delta S=0$ Así que para variar

ϕ

$\phi$ , ¿Puedo pensar en esto?

ϕ

$\phi$ parametrizado por

λ

$\lambda$ como

ϕ ⟼ ϕ_{λ} (t)

$\phi \longmapsto \phi_{\lambda}(t)$ y varíe la acción de modo que para diferentes

λ

$\lambda$ diferente

ϕ

$\phi$ se asigna para comprobar qué

ϕ

$\phi$ extremiza la acción? También la expresión de

δ S

$\delta S$ . no es

d S = \frac{d S}{d λ}

$\delta S=\frac{dS}{d \lambda}$ en este caso que es seguido por

d L = \frac{d L}{d λ}

$\delta \mathcal{L}=\frac{d \mathcal{L}}{d \lambda}$ y

d ϕ = \frac{d ϕ}{d λ} ?

$\delta \phi=\frac{d \phi}{d \lambda}~?$

Otra pregunta es: ¿cuál sería la notación que representa la derivada funcional de $S[\phi]$ ? Aunque sé que es algo que reside en el integrando y después de calcular $\delta \mathcal{L}$ podemos obtener una expresión para esto como a continuación.

\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}})

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}- \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}})$

SaidurRahman

@Qmechanic: he corregido la publicación. Perdón por usar una notación incorrecta.

λ

$\lambda$ debería haber sido dado como un índice. en realidad quise decir

ϕ

$\phi$ es una función de

t

$t$ . Y

ϕ_{λ} (t)

$\phi_{\lambda}(t)$ denota una familia de

ϕ (t)

$\phi(t)$ 's.

Respuestas (2)

Principio de acción y derivada funcional en CM

@Qmechanic: he corregido la publicación. Perdón por usar una notación incorrecta. $\lambda$ debería haber sido dado como un índice. en realidad quise decir $\phi$ es una función de $t$ . Y $\phi_{\lambda}(t)$ denota una familia de $\phi(t)$ 's.

Javier · Answer 1

De hecho, tiene razón en lo que respecta a la definición. Se puede definir una derivada funcional direccional de la siguiente manera.

Dado un funcional $S$ , Una función $\phi_0$ (el "punto") y una función $\alpha$ (la "dirección"), podemos considerar la familia de funciones $\phi_\epsilon = \phi_0 + \epsilon \alpha$ . Entonces $S[\phi_\epsilon]$ es sólo una función regular de $\epsilon$ , y definimos la derivada funcional de $S$ en $\phi_0$ en la dirección de $\alpha$ como

\frac{d}{d ϵ} S [ϕ_{0} + ϵ α] |_{ϵ = 0} .

$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi_0 + \epsilon \alpha]\big|_{\epsilon=0}.$

Decimos que la derivada funcional de $S$ en $\phi_0$ es cero si lo anterior se anula para todos $\alpha$ . El problema es que para verificar que la derivada es cero, debe verificar todas las funciones posibles $\alpha$ , que claramente no es muy práctico. Por eso hay otra definición muy relacionada: decimos que $S$ es diferenciable si tenemos que

S [ϕ_{0} + α] = S [ϕ_{0}] + F [α] + O (α^{2}),

$S[\phi_0 + \alpha] = S[\phi_0] + F[\alpha] + \mathcal{O}(\alpha^2),$

dónde $F$ es un funcional lineal y $\mathcal{O}(\alpha^2)$ va a cero cuadráticamente como $\alpha$ y su derivada van a cero uniformemente (ver Métodos matemáticos de mecánica clásica de Arnold ). Si tenemos suerte, y en física a menudo tenemos suerte, podemos escribir el funcional $F$ como

F [α] = \int F (t) α (t) d t,

$F[\alpha] = \int f(t) \alpha(t)\, dt,$

(no olvides que $F$ y $f$ depender de $\phi_0$ ), y llamamos $f$ la derivada funcional de $S$ . $F[\alpha]$ es lo que llamé la derivada direccional anterior; la ventaja de esta definición es que todo se reduce a la función única $f$ .

FísicaHombre · Answer 2

En tu notación $\phi$ ya está parametrizado por $t$ , puedes volver a etiquetarlo $\phi(t)\rightarrow\phi(\lambda)$ pero estas son solo etiquetas y, por lo tanto, no son significativas para lo que elegimos que sean. Tu intuición es correcta, tienes que encontrar el $\phi(t)$ que extremiza la acción.

La derivada de la funcional $\delta S$ significa la derivada total

$\delta S = \displaystyle\int\delta\mathcal{L}(\phi(t),\dot{\phi}(t))dt=\int\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\frac{d\dot{\phi}}{dt}\right)dt$

Donde he usado la regla de la cadena.

Bueno. He corregido la publicación. $\lambda$ debería haber sido dado como un índice. No quise decir eso en el lugar de $t$ .
Indicando $\phi$ con una etiqueta $\phi\rightarrow\phi_{\lambda}$ nuevamente no es muy significativo, solo está cambiando el "nombre" de la función. ¿Cuáles son exactamente las diferencias entre los $\phi_{\lambda}$ ? El principio de acción establece que existe alguna trayectoria en el tiempo $\phi(t)$ que seguirá una partícula y esta trayectoria es la que minimiza la acción. $\phi(t)$ ya encapsula todas las trayectorias posibles en el tiempo, simplemente no sabes cuál. Al minimizar la acción, obtienes las restricciones (ecuaciones de Euler-Lagrange) que te ayudarán a encontrar la trayectoria correcta.
Entonces supongo que usando $\lambda$ aquí es redundante. Eliminando esta redundancia, entonces $\delta S = \frac{dS}{dt}$ y $\delta \mathcal{L}$ , $\delta \phi$ toman también la misma forma. ¿no es así?
Bueno. Hay algunas cosas que necesito tener claras. Por qué está llamando $\delta S$ la derivada funcional? Es una variación del funcional. La derivada debe ser con respecto a $\phi$ !! ¿Y cuál sería la notación de derivada funcional en este caso?

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