¿Dependencia temporal del Lagrangiano de una partícula libre?

I) En el Lagrangiano$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, se debe distinguir entre la dependencia temporal implícita a través de las variables$q(t)$y$\dot{q}(t)$, y dependencia temporal explícita .$^1$

Sin embargo, la dependencia temporal implícita en el Lagrangiano$L$solo tiene sentido en el contexto de una ruta fija (pero arbitraria, posiblemente virtual)

$$\tag{1} [t_i,t_f]~\stackrel{q}{\longrightarrow}~\mathbb{R}^n.$$ La dependencia de tiempo implícita normalmente sería diferente para otra ruta.

II) De hecho, una ruta (posiblemente virtual) (1) técnicamente hablando no es la entrada para un Lagrangiano$L$. Más bien el lagrangiano

$$\tag{2} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times [t_i,t_f]~\stackrel{L}{\longrightarrow}~\mathbb{R}$$ es una funcion $$\tag{3} (q,v,t)~\mapsto~ L(q,v,t)$$ (a diferencia de un funcional) que solo depende de

1. un instante$t\in[t_i,t_f]$,

2. una posición instantánea$^2$ $q\in\mathbb{R}^n$, y

3. una velocidad instantanea$v\in\mathbb{R}^n$;

ni el pasado, ni el futuro.

Note que aquí usamos el símbolo$v$en lugar de la notación$\dot{q}\equiv \frac{dq}{dt}$. Esto se debe a que la capacidad de diferenciar$\frac{dq}{dt}$implicaría que conocemos (al menos un segmento de) un camino (1) en lugar de solo información sobre un estado instantáneo$(q,v,t)$del sistema.

III) En cambio, la acción

$$\tag{4} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$ es un funcional (en oposición a una función) que depende de un camino (posiblemente virtual) (1).

Para obtener más detalles, como, por ejemplo, una explicación de cómo funciona el cálculo de variaciones, por qué$q$y$v$son variables independientes en el Lagrangiano (3) pero variables dependientes en la acción (4), etc.; ver, por ejemplo , esta publicación relacionada con Phys.SE y los enlaces en ella.

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$^1$Por cierto, si el lagrangiano$L(q,v)$no tiene una dependencia temporal explícita, entonces la energía

$$\tag{5} h(q,v)~:=~v^i \frac{\partial L(q,v)}{\partial v^i}-L(q,v)$$ se conserva, cf. El teorema de Noether .

$^2$Aquí$q\in\mathbb{R}^n$denota un$n$-tupla, a diferencia de la ec. (1) donde$q$denota un camino/curva.

Piense en un principio de acción como un mapeo abstracto de trayectorias$\mathbf r = (\vec r(t), t_0, t_1)$a algún número$S(\mathbf r)$que ya no es explícitamente dependiente del tiempo.

Ahora, a veces , la acción se puede calcular a partir de otra función. La otra función solo tiene un montón de parámetros , que podemos llamar$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$. Desde la perspectiva de esta función, esos son solo números.

Decimos que esta función es una Lagrangiana si calculamos la acción a partir de ella haciendo una integral de tiempo:

$S(\mathbf r) = \int_{t_0}^{t_1} dt~ L(\{\alpha_i = r_i(t)\}, ~ \{\beta_i = \dot r_i(t)\},~ \tau = t)$

En otras palabras, la función aún no "sabe sobre" física; la física está imbuida por el principio de mínima acción . El Lagrangiano es solo una función que toma un montón de variables y produce un número. Claro, si "sabe" que esta integral de tiempo se hará, puede aplicar esa función a la trayectoria de una partícula real y luego encontrará que depende del tiempo, pero por sí mismo, es solo una función, utilizada por la acción principio para todas las trayectorias , para calcular su acción.

Entonces, cuando omitimos escribir los parámetros como$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$y en su lugar escribirlos como$\{r_i\}, ~ \{v_i\}, ~ t$solo estamos reutilizando estos símbolos como nombres para los números que eventualmente vamos a poner en la función. Este "juego de palabras" (como lo llama el lenguaje de programación Haskell) es un poco confuso al principio, pero nos ayuda a recordar qué era qué cuando luego sustituimos los valores.

Usted dice "Cuando calculamos la acción como la integral del Lagrangiano para una trayectoria ondulada, la velocidad obviamente depende del tiempo y también lo es el Lagrangiano" .

¿Cómo es exactamente que la velocidad depende del tiempo? Antes de aplicar el principio de acción mínima y encontrar la trayectoria del objeto, tenemos un Lagrangiano dependiente de la velocidad (a través del término de energía cinética) y la posición y (eventualmente) el tiempo (a través de la energía potencial). No tenemos idea de cómo la velocidad depende del tiempo. Hay un continuo de formas de dependencias, porque hay un continuo de formas de trayectorias que el objeto puede seguir en principio. Por eso, antes de minimizar la acción, tomamos en el Lagrangiano la velocidad como variable en sí misma.

No conocemos la trayectoria antes de minimizar la acción, por lo que no tenemos relación entre la velocidad y el tiempo.