La variación de Schwinger de la acción de la partícula puntual con tanto el tiempo como la posición como variables independientes

Question

La variación de Schwinger de la acción de la partícula puntual con tanto el tiempo como la posición como variables independientes

acción
Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional

GodotMisogi

En el Capítulo 8, páginas 86-87, ecuaciones (8.5)-(8.11) de Julian Schwinger et al., Classical Electrodynamics , las ecuaciones de movimiento para el siguiente principio de acción de una partícula puntual en un potencial externo se derivan de manera no convencional , por lo que he visto.

La acción se da como:

\begin{matrix} (8.10) & W_{12} = \int_{2}^{1} [\frac{1}{2} metro \frac{(d r)^{2}}{d t} - d t V (r, t)] \end{matrix}

$W_{12} = \int_2^1 \left[\frac{1}{2}m\frac{(\mathrm d\bf r)^2}{\mathrm dt} - \mathrm dt\, V(\mathbf r,t)\right]\tag{8.10}$

con las variaciones de

\begin{matrix} (8.5) & r (t) \to r (t) + d r (t) \end{matrix}

$\mathbf r(t) \to \mathbf r(t) + \delta\mathbf r(t)\tag{8.5}$ y

\begin{matrix} (8.6) & t \to t + d t (t), \end{matrix}

$t \to t + \delta t(t),\tag{8.6}$ tal que en los extremos

\begin{matrix} (8.7) & d t (t_{1}) = d t_{1}, d t (t_{2}) = d t_{2}, \end{matrix}

$\delta t(t_1) = \delta t_1, \qquad \delta t(t_2) = \delta t_2,\tag{8.7}$ para que los límites de integración no se modifiquen. Por lo tanto, el tiempo es una función del parámetro tiempo

t

$t$ (lo que asumo es abuso notacional). Esto es diferente del enfoque habitual en el que

r

$\mathbf r$ y

\dot{r}

$\dot{\mathbf r}$ se consideran variables independientes y varían en consecuencia.

Los cambios correspondientes en el diferencial de tiempo y la derivada de tiempo son:

\begin{matrix} (8.8) & d t \to d (t + d t) = (1 + \frac{d d t}{d t}) d t, \end{matrix}

$\mathrm dt \to d(t+\delta t) = \left(1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm d t}\right)\mathrm dt,\tag{8.8}$

\begin{matrix} (8.9) & \frac{d}{d t} \to (1 - \frac{d d t}{d t}) \frac{d}{d t} . \end{matrix}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \to \left(1 - \frac{\mathrm d \delta t}{\mathrm d t}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}.\tag{8.9}$

Luego se presenta la siguiente variación:

\begin{matrix} (8.11) & d W_{12} = \int_{2}^{1} d t {metro \frac{d r}{d t} \cdot \frac{d}{d t} d r - d r \cdot \nabla V - \frac{d d t}{d t} [\frac{1}{2} metro {(\frac{d r}{d t})}^{2} + V] - d t \frac{\partial}{\partial t} V} . \end{matrix}

$\delta W_{12} = \int^1_2 \mathrm dt\left\{m\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r - \delta\mathbf r \cdot \nabla V - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\left[\frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\right)^2 + V \right] - \delta t \frac{\partial}{\partial t}V\right\}. \tag{8.11}$

Intenté descubrir cómo derivar esto, pero sigo atascado en el primer paso. Aquí hay algunas posibilidades que consideré:

Comience con la variación de la acción definida como una integral sobre el Lagrangiano y varíe sensiblemente:

$d W_{12} = d (\int_{2}^{1} L (r, \dot{r}, t)) = \int_{2}^{1} [d L d t + L d (d t)]$ $\delta W_{12} = \delta \left(\int_2^1 L(\mathbf r, \dot{\mathbf r}, t)\right) = \int^1_2 \left[\delta L\,\mathrm dt + L\,\delta(\mathrm dt)\right]$

Trate la variación como una "transformación", es decir, sustituya los parámetros transformados en el Lagrangiano:

$\int_{2}^{1} L [r + d r, (1 - \frac{d d t}{d t}) \frac{d}{d t} (r + d r (t)), t + d t] [1 + \frac{d d t}{d t}] d t$ $\int_2^1 L\left[\mathbf r + \delta\mathbf r, \left(1 - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf r + \delta\mathbf r(t)\right), t + \delta t\right]\left[1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right]\mathrm dt$

Considere la variación del término de energía cinética de la partícula libre, que conduce a la siguiente expresión como yo la veo:

$\begin{aligned} d {(\frac{d r}{d t})}^{2} & = 2 (\frac{d r}{d t}) [d (\frac{d}{d t}) r + \frac{d}{d t} d r] \\ = 2 (\frac{d r}{d t}) [(1 - \frac{d d t}{d t}) \frac{d r}{d t} + \frac{d}{d t} d r] \end{aligned}$ $\begin{align*} \delta\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)^2 & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\delta\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right)\mathbf r + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \\ & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\left(1-\frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \end{align*}$

Después de la expansión habitual de Taylor hasta el primer orden, no puedo ver que ninguno de estos conduzca a la variación dada en el libro. ¿Qué método, si alguno, es el correcto? Tampoco estoy particularmente seguro de si 3. es correcto.

Respuestas (1)

La variación de Schwinger de la acción de la partícula puntual con *tanto* el tiempo como la posición como variables independientes

qmecanico · Answer 1

Aquí hay quizás un enfoque más claro. OP esencialmente ya menciona que Schwinger et al. están permitiendo reparametrizaciones de tiempo en un intervalo de parámetro fijo

\begin{matrix} (A) & [λ_{i}, λ_{F}] ∋ λ \mapsto X^{m} (λ) \in R^{4}, X \equiv r \circ t, X^{0} \equiv t . \end{matrix}

$[\lambda_i,\lambda_f]~\ni~\lambda~~\mapsto ~~x^{\mu}(\lambda)~\in~\mathbb{R}^4, \qquad {\bf x}~\equiv~{\bf r}\circ t, \qquad x^0~\equiv~t.\tag{A}$

la acción es

\begin{matrix} (B) & S [X^{m}] = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L = \int_{λ_{i}}^{λ_{F}} d λ \dot{t} L, L = L (X^{m}, v), v := \frac{d r}{d t} = \frac{\dot{X}}{\dot{t}}, \end{matrix}

$S[x^{\mu}]~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt ~L~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda ~\dot{t}L, \qquad L~=~L(x^{\mu},{\bf v}), \qquad {\bf v} ~:=~\frac{d{\bf r}}{d t}~=~\frac{\dot{\bf x}}{\dot{t}},\tag{B}$

donde punto significa diferenciación wrt. $\lambda$ . Defina cantidad de movimiento y energía como

\begin{matrix} (C) & pag := \frac{\partial L}{\partial v} y h := v \cdot pag - L . \end{matrix}

${\bf p}~:=~\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}\qquad\text{and}\qquad h~:=~{\bf v}\cdot{\bf p}-L .\tag{C}$

La variación infinitesimal de los rendimientos de acción

d S := S [X^{' m}] - S [X^{m}] = \dots = \int_{λ_{i}}^{λ_{F}} d λ \sum_{m = 0}^{3} \frac{d S}{d X^{m}} d X^{m} + {[\sum_{m = 0}^{3} \frac{\partial [\dot{t} L]}{\partial {\dot{X}}^{m}} d X^{m}]}_{λ = λ_{i}}^{λ = λ_{F}}

$\delta S ~:=~S[x^{\prime \mu}]- S[x^{\mu}] ~=~\ldots~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda \sum_{\mu=0}^3\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}}\delta x^{\mu} + \left[\sum_{\mu=0}^3\frac{\partial [\dot{t}L]}{\partial \dot{x}^\mu}\delta x^{\mu} \right]_{\lambda=\lambda_i}^{\lambda=\lambda_f}$

\begin{matrix} (D) & = \dots = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (\frac{\partial L}{\partial r} - \frac{d pag}{d t}) \cdot d r + \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (\frac{\partial L}{\partial t} + \frac{d h}{d t}) \cdot d t + {[pag \cdot d r - h d t]}_{t = t_{i}}^{t = t_{F}}, \end{matrix}

$~=~\ldots~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial {\bf r}}-\frac{d{\bf p}}{dt}\right)\cdot \delta {\bf r} + \int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{dh}{dt}\right)\cdot \delta t + \left[{\bf p}\cdot\delta{\bf r} -h \delta t\right]_{t=t_i}^{t=t_f}, \tag{D}$ que es equivalente a la última expresión en la ec. (8.11).

Ah, eso hace las cosas mucho más claras desde un punto de vista general. Gracias por la excelente respuesta, pero me gustaría saber cómo incorporar las transformaciones del diferencial y el derivado directamente en la acción, como se hace en el libro para obtener el resultado. En particular, tengo curiosidad acerca de qué paso (s) de mi pregunta es lógicamente correcto, si corresponde.

La variación de Schwinger de la acción de la partícula puntual con tanto el tiempo como la posición como variables independientes

GodotMisogi

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qmecanico

GodotMisogi

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Demostrando la independencia del lagrangiano en la posición de una partícula libre usando la ecuación de euler-lagrange