¿Es posible que el Action SSS *no* tenga un punto estacionario?

Sabemos que si se cumple la ecuación de Euler-Lagrange, entonces la acción debe tener un valor estacionario. La ecuación de Euler-Lagrange es

si tomamos$L$ser$L=T-V$para energía cinética$K=\frac12mv^2=\frac12m\dot x^2$y energía potencial$V=V(x)$entonces nosotros tenemos

Y así terminamos con la segunda ley de Newton$F=ma$

Entonces, si queremos que las leyes de Newton se cumplan$^*$, también debemos tener que la ecuación de Euler-Lagrange se cumple para nuestro Lagrangiano$L=T-V$, lo que significa que debe haber un punto estacionario para nuestra acción.

En otras palabras, si no tenemos un punto estacionario, entonces no estamos tratando con trayectorias físicamente realizables.

$^*$Por supuesto, el poder de usar la mecánica lagrangiana o hamiltoniana es que tenemos más libertad para usar coordenadas generalizadas en lugar de solo considerar las coordenadas espaciales, pero eso no significa que descartemos las leyes de Newton.

1. Un funcional genérico no tiene que tener puntos estacionarios. Para un ejemplo elemental (aunque ciertamente algo artificial), tomemos, por ejemplo, un Lagrangiano$^{\dagger}$

   $$L=F_{\rm ext}y, \qquad F_{\rm ext}~\equiv~{\rm constant}~\neq~ 0,$$ para un campo de fuerza externo uniforme$F_{\rm ext}$. No tiene un punto fijo. La ecuación de Lagrange correspondiente$F_{\rm ext}=0$nunca está satisfecho y no tiene soluciones estacionarias. Esto es cierto incluso si imponemos, digamos, condiciones de contorno de Dirichlet$y(t_i)=0=y(t_f)$.

2. Por supuesto, si asumimos que la acción$S$implementa la segunda ley de Newton en un problema de física bien planteado, entonces debería tener un punto estacionario.

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$^{\dagger}$Imaginemos por ejemplo que no existe el tiempo, es decir estamos estudiando el problema estático, o que consideramos el límite ideal de masa evanescente$m= 0$y por lo tanto la energía cinética que se desvanece$\frac{1}{2}m\dot{y}^2= 0$.

Un modelo se define mediante un sistema de ecuaciones, las ecuaciones de movimiento, que especifican cómo se permite que se comporten los distintos jugadores. El sistema completo de ecuaciones de movimiento a menudo se puede codificar en la ecuación única$\delta S=0$, dónde$S$es la integral de un lagrangiano adecuadamente elegido$L$. Esto suele ser lo que entendemos por "la acción" para un sistema dado.

Si la acción no tiene puntos estacionarios, entonces no es útil para describir el comportamiento de ningún sistema de esa manera. Por el contrario, si tenemos un sistema cuyas ecuaciones de movimiento se pueden codificar en la forma$\delta S=0$, entonces, por definición, la acción tiene todos los puntos estacionarios que necesitamos para describir el comportamiento de ese sistema. De todos los comportamientos que podemos imaginar, solo aquellos que satisfacen$\delta S=0$están realmente permitidos.

El principio de Hamilton asume implícitamente que estamos tratando con un sistema cuyas ecuaciones de movimiento se pueden codificar en la forma$\delta S=0$y que el lagrangiano$L$fue elegido para implementar esta codificación. Sólo los comportamientos que satisfacen$\delta S=0$están permitidos. No se producirán otros comportamientos. Si "la partícula no se mueve" es un comportamiento permitido, entonces este comportamiento cumplirá la condición$\delta S=0$; será uno de los puntos fijos de la acción.