Preguntas sobre la interpretación de Feynman-Stueckelberg

Pregunta 1: ¿Por qué es posible suponer que las soluciones de energía negativa viajan hacia atrás en el tiempo?

Creo que hay una ligera confusión de interpretación sobre qué solución es qué aquí. lo que tienes en$ue^{imt} = ue^{-i(-E)t} = ue^{-iE(-t)}$es una solución de energía negativa que avanza en el tiempo o, de manera equivalente, una solución de energía positiva que retrocede en el tiempo. Asimismo,$ue^{-imt} = ue^{-i(+E)t} = ue^{-i(-E)(-t)}$es una solución de energía positiva que avanza en el tiempo o una solución de energía negativa que retrocede en el tiempo. La declaración sobre la que está preguntando probablemente se refiere a "estados de electrones de energía negativa, hacia atrás en el tiempo" interpretados como "estados de positrones de energía positiva, hacia adelante en el tiempo".

Nota sobre la conjugación de carga involucrada : en general, la ecuación de Dirac completa. y soluciones$\psi(x)$a cargo$e$, masa en reposo$m$y energía negativa$-E$son equivalentes por una transformación de paridad-carga-tiempo-reversión (PCT) (no entre en pánico, vea más abajo) a la ecuación. y soluciones$\psi_{PCT}(x')$a cargo$-e$, masa en reposo$m$y energía$E$retrocediendo en el espacio y el tiempo,

Pregunta 2: Si no asumimos la estacionariedad de una partícula y, por lo tanto, el momento espacial no es cero, entonces, cuando invertimos el signo de E, ¿realmente invertimos el signo de pμ?

Básicamente correcto. El$PCT$transformación se descompone de la siguiente manera:

• Conjugación de carga$C$de una solución con carga$e$, 4-impulso$p$y (4-) girar$s$da una solución con carga$-e$, 4-impulso$-p$y todavía (4-)girar$s$:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow -e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t$$ Sin embargo, tenga en cuenta que la polarización de espín para los estados de energía negativa se define con el signo invertido en comparación con los estados de energía positiva. Entonces, en la teoría de los agujeros, esto en realidad lleva a la interpretación de que la ausencia de un electrón con energía negativa$-E$, 3-impulso$-\bf p$y girar$\uparrow$del "mar lleno" de estados de energía negativa es equivalente a la presencia de un positrón de energía positiva$E$, 3-impulso$\bf p$y girar$\downarrow$.

• La transformación de paridad (P) es una reflexión espacial: cambia 3-momentum$\bf p$a$-\bf p$, pero no afecta la carga, la energía o el giro:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t$$

• Inversión del tiempo$T$(t$\rightarrow -t$) invierte la flecha del tiempo y la dirección 3-impulso$\bf p$y 3 giros$\bf s$, pero no afecta la energía ni la carga:

  $$e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, {\bf s}), \;t \rightarrow e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, -{\bf s}), \;-t$$ Cuando se aplica a una solución de energía positiva con 3 impulsos$\bf p$y girar$\uparrow$produce una solución de energía positiva de 3 impulsos$-\bf p$y girar$\downarrow$.

Dado esto, apliquemos una transformación PCT general a un estado de carga de electrones$-e$, energía negativa$-E$, 3-impulso$-\bf p$y girar$\uparrow$retrocediendo en el tiempo,

• P da un estado de carga de electrones$-e$, energía negativa$-E$, 3-impulso$\bf p$, girar$\uparrow$, todavía retrocediendo en el tiempo:

  $$-e, \;(-E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow -e, \;(-E, {\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t$$

• C luego cambia el electrón a un positrón de carga$+e$, energía positiva$+E$, pero voltea el 3-momentum de nuevo a$-\bf p$, dejando el giro como$\uparrow$y la flecha del tiempo como hacia atrás en el tiempo:

  $$-e, \;(-E, {\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow +e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t$$

• Finalmente$T$deja el positrón como positrón de energía positiva$E$, pero invierte el impulso 3 a$\bf p$, girar a$\downarrow$y voltea la flecha de tiempo para avanzar en el tiempo:

  $$+e, \;(E, -{\bf p}),\; (s_0, \uparrow), \;-t \rightarrow +e, \;(E, {\bf p}),\; (s_0, \downarrow), \;+t$$

El resultado es que por la transformación PCT un estado de carga del electrón$-e$, energía negativa$-E$, 3-impulso$-\bf p$y girar$\uparrow$retroceder en el tiempo es equivalente a un estado de carga de positrones$+e$, energía positiva$E$, 3-impulso$\bf p$y girar$\downarrow$avanzando en el tiempo.

Así que sí, el impulso de 4$p$cambia de signo, al igual que la carga, el espín y la flecha del tiempo.

¿Por qué es posible suponer que las soluciones de energía negativa viajan hacia atrás en el tiempo?

no lo es Porque no hay viaje hacia adelante en el tiempo. No en ningún sentido real. Para apreciar esto considere la caja de estasis . Es ciencia ficción, pero sin embargo útil. No se produce ningún tipo de movimiento en la caja de estasis. La luz no se mueve, las señales electroquímicas no se mueven, nada se mueve. Entonces, cuando te encerré dentro de la caja de estasis durante cinco años y luego abrí la puerta, crees que la abrí de inmediato. Usted "viajó al futuro" al no moverse en absoluto mientras todo lo demás lo hacía .

Esto suele explicarse afirmando que$Et=(-E)(-t)$, sin embargo la solución$ue^{-iEt}$, dónde$E=-m$tiene negativo$E$pero positivo$t$. Y, según tengo entendido, estamos usando un marco de Lorentz fijo , por lo tanto, la función de coordenadas$t$que aparece aquí es la misma función de coordenadas de tiempo que aparece en las soluciones de energía positiva, ergo deberían propagarse en la misma dirección de tiempo.

Realmente no hay ninguna dirección de tiempo. Piensa en lo que hace un reloj. Registra algún tipo de movimiento acumulativo, ya sea el de un péndulo o el de un cristal de cuarzo, y te muestra un resultado acumulativo llamado tiempo. Y no existe tal cosa como el movimiento negativo.

Una cosa que puedo imaginar es que desde

$$\exp(-iEt)=\exp(-i(-E)(-t)),$$ la segunda expresión parece una energía POSITIVA ( $-E$es positivo aquí) solución que viaja hacia atrás en el tiempo (pero por supuesto, la acción del operador de energía $i\partial/\partial t$generará un valor propio de energía negativa), pero ¿estábamos hablando de una solución de energía NEGATIVA que viaja hacia atrás en el tiempo?

No existe el movimiento negativo o la longitud negativa. No puede reducir la longitud de una regla a menos de cero pulgadas. Tal gobernante no existe. De manera similar, no puedes seguir extrayendo más energía de un cuerpo que la energía que hay en él. No hay nada que esté hecho de energía negativa. La energía vinculante no está describiendo algo compuesto de energía negativa, está describiendo menos energía positiva.

Si no asumimos la estacionariedad de una partícula y, por lo tanto, el momento espacial no es cero, entonces cuando invertimos el signo de$E$, ¿realmente invertimos el signo de$p_\mu$? Porque cuando buscamos los espinores de antipartículas como$\psi=v\exp[-i(\mathbf{p\cdot x}-Et)]$, NO estamos invirtiendo simultáneamente el signo de$E$y$t$, pero solo estamos invirtiendo el signo de$p_\mu$. No entiendo por qué estamos haciendo eso. Estábamos hablando de invertir$E$y$t$¡ambos!

El positrón es un electrón invertido en el tiempo en el sentido de que es un "espinor dinámico" con la quiralidad opuesta. En mi humilde opinión, las animaciones toroidales de Adrian Rossiter son útiles aquí. Este gif representa el electrón de espín ½:

Lo que puedes hacer con un gif es invertirlo y "reproducirlo al revés". Si también lo volteas horizontalmente, puedes ver que ahora tiene la quiralidad opuesta. Así que este gif representa el positrón:

Ahora, entiendo que esta función de onda hará que el operador de energía dé valores propios negativos para positivo$E$s, pero, sin embargo, estas inversiones de signo me parecen completamente arbitrarias.

Acordado. Comprender el tiempo es en mi humilde opinión crucial. No fluye, no pasa y no nos movemos a través de él. Ver Un mundo sin tiempo: El legado olvidado de Gödel y Einstein . El tiempo existe como existe el calor. Cien años te matarán con tanta seguridad como cien grados centígrados. Pero así como no puedes subir literalmente a una temperatura más alta, tampoco puedes viajar a otro tiempo. Ya sea hacia adelante o hacia atrás.