Signos confusos en soluciones a la ecuación de Dirac

En realidad, la descripción considerando soluciones$p^{\mu}=(\pm E,\pm \vec{p})$prevalece en la mayoría de los libros sobre mecánica cuántica relativista y QFT como el clásico Bjorken, Drell hasta Peskin, Schroeder entre muchos otros. La solución con signo positivo en todas las componentes del 4-momento se llama$u(p)\exp(-ipx)$y la solución con signo negativo en todas las componentes del 4-momento se llama$v(p)exp(ipx)$(siempre$px = Et-\vec{p}\vec{x}$y con$E=+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}$) La principal justificación es que cumplen la ecuación de Dirac. (Las ecuaciones matriciales algebraicas$(\gamma_\mu p^{\mu}-m)u(p)=0$y$(\gamma_\mu p^{\mu}+m)v(p)=0$se puede cumplir fácilmente como prueba las ecuaciones que proporciona en su publicación (estas son las soluciones)).

El punto más interesante, por supuesto, es por qué se adoptó esta "convención" como norma. Hace la interpretación de las soluciones.$v(p)exp(ipx)$más fácil. entonces que hace$v(p)exp(ipx)$describir ? Si$u(p)\exp(-ipx)$describir electrones con 4-momentum$p^{\mu}$, entonces$v(p)exp(ipx)$debe describir un electrón con energía negativa$-E$y el impulso negativo$-\vec{p}$. Ahora viene la interpretación de Feyman-Stueckelberg. Principalmente dice que la emisión de una partícula cargada de$-p^{\mu}$corresponde a la absorción de una partícula de momento con carga opuesta$p^{\mu}$. Por otro lado, la absorción de una partícula cargada de$-p^{\mu}$corresponde a la emisión de una partícula de impulso de carga opuesta$p^{\mu}$. Por lo tanto podemos interpretar las soluciones$v(p)exp(ipx)$como electrones de carga opuesta, es decir, positrones con momento$+p^{\mu}$y así dar a las incómodas soluciones de energía negativa un sentido adecuado.

Mirando las dos soluciones (1)$u(p)\exp(-ipx)$y 2)$v(p)exp(ipx)$el intercambio de emisión y absorción se puede observar muy bien: la primera solución describe una onda entrante (absorción) mientras que la segunda describe una onda saliente (emisión). Esto no sería tan obvio si en el establecimiento de las soluciones de energía negativa no se cambiara también el signo del 3-momentum. Además, describir partículas que se propagan con un avance de fase positivo de 4 impulsos$px = Et-\vec{p}\vec{x}$con$E>0$es necesario (cambiar el signo relativo entre las 2 partes sería incómodo).

Bueno, el precio a pagar por la reinterpretación es que el proceso de emisión y absorción de partículas tiene que ser intercambiado, la consecuencia de esto es que se supone que los electrones de energía negativa retroceden en el tiempo para que los positrones avancen en el tiempo. (Otra interpretación es la del mar de Dirac, que sigue siendo bastante popular pero en realidad un poco anticuada ya que tiene algunos inconvenientes. Reinterpreta el negativo$-p^{\mu}$soluciones de manera similar a las positivas$p^{\mu}$soluciones.)

Si soluciones$p^{\mu}=(\pm E, \vec{p})$En cambio, si se hubiera tomado la interpretación de Feyman-Stueckelberg, por supuesto, también se puede aplicar, pero la gestión de los signos sería más complicada, los positrones tendrían ciertamente energía positiva y un impulso negativo, lo que a priori no es un problema, pero todo el formalismo sería ser más complicado si no bastante incómodo.

De todos modos, las soluciones de su curso y se pueden transformar en las soluciones de Griffiths y viceversa mediante un cambio de signo en el momento 3, y esto no es un problema en cuanto a las partículas libres si hay una solución con momento.$\vec{p}$, existe también la solución de$-\vec{p}$. Es solo volver a etiquetar soluciones con diferentes índices.