Preguntas básicas en fermiones de Majorana

Pongo una respuesta adicional, ya que creo que la primera pregunta de Jeremy aún no ha sido respondida. La respuesta anterior es clara, pedagógica y correcta. La discusión también es muy interesante. Gracias a Nanophys y Heidar por esto.

Para responder directamente a la pregunta de Jeremy: SIEMPRE puedes construir una representación de tus modos de fermiones favoritos en términos de los modos de Majorana. Estoy usando los "modos" de la convención ya que soy un físico de materia condensada. Nunca trabajo con partículas, solo con cuasi-partículas. Quizás sea mejor hablar de modo.

Así que la transformación unitaria de los modos fermion creados por$c^{\dagger}$y destruido por el operador$c$a los modos Majorana es

$$c=\dfrac{\gamma_{1}+\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;c{}^{\dagger}=\dfrac{\gamma_{1}-\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}$$ o equivalente $$\gamma_{1}=\dfrac{c+c{}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;\gamma_{2}=\dfrac{c-c{}^{\dagger}}{\mathbf{i}\sqrt{2}}$$ y esta transformación está siempre permitida, siendo unitaria. Después de hacer esto, acaba de cambiar la base de su hamiltoniano. Las cuasi-partículas asociadas con el $\gamma_{i}$Los modos verifican $\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$, una relación de anticonmutación fermiónica $\left\{ \gamma_{i},\gamma_{j}\right\} =\delta_{ij}$, pero no son partículas en absoluto. Una forma sencilla de ver esto es intentar construir un operador numérico con ellos (si no podemos contar las partículas, ¿son partículas? Supongo que no). adivinaríamos $\gamma{}^{\dagger}\gamma$es bueno Esto no es cierto, ya que $\gamma{}^{\dagger}\gamma=\gamma^{2}=1$es siempre $1$... El único operador numérico correcto es $c{}^{\dagger}c=\left(1-\mathbf{i}\gamma_{1}\gamma_{2}\right)$. Para verificar que los modos de Majorana son anyons, debe trenzarlos (conozca su estadística de intercambio) -- No quiero decir mucho sobre eso, Heidar hizo todos los comentarios interesantes sobre este punto. Volveré más tarde al hecho de que siempre hay $2$Modos Majorana asociados a $1$fermiónico ( $c{}^{\dagger}c$) una. Nanophys ya ha dicho la mayor parte, excepto un punto importante que discutiré más adelante, cuando discuta la deslocalización del modo Majorana. Me gustaría terminar este párrafo diciendo que la construcción de Majorana no es más que la construcción habitual del bosón: $x=\left(a+a{}^{\dagger}\right)/\sqrt{2}$y $p=\left(a-a{}^{\dagger}\right)/\mathbf{i}\sqrt{2}$: solamente $x^{2}+p^{2} \propto a^{\dagger} a$(con las constantes de dimensión adecuadas) es un número de excitación. Los modos Majorana comparten muchas propiedades con los $p$y $x$representación de la mecánica cuántica (estructura simpléctica entre otras).

La siguiente pregunta es la siguiente: ¿existen algunas situaciones en las que el$\gamma_{1}$y$\gamma_{2}$Cuáles son las excitaciones naturales del sistema? Bueno, la respuesta es complicada, tanto sí como no.

• Sí, porque los operadores de Majorana describen las excitaciones correctas de alguna realización topológica de materia condensada, como la$p$-superconductividad de ondas (entre muchas otras, pero déjame concentrarme en esta específica, que conozco mejor).
• ¡No, porque estos modos no son excitación en absoluto! Son modos de energía cero, que no es la definición de una excitación. De hecho, describen las diferentes realizaciones de vacío posibles de un vacío emergente (emergente en el sentido de que la superconductividad no es una situación natural, es un condensado de electrones que interactúan (digamos)).

Como se señaló en la discusión asociada a la respuesta anterior , la terminología normal para estas pseudoexcitaciones es modo de energía cero. Eso es lo que son: modo de energía con energía cero, en medio de la brecha (superconductora). Tenga en cuenta también que en la materia condensada, la brecha proporciona la protección completa del modo Majorana, no hay otra protección en cierto sentido. Algunas personas creen que hay una especie de deslocalización de la Majorana, lo cual es cierto (llegaré a eso en un momento). Pero la deslocalización viene junto con la brecha de hecho: no se permite la propagación por debajo de la energía de la brecha. Entonces, el modo Majorana está necesariamente localizado porque se encuentran en energía cero, en el medio de la brecha.

Más palabras sobre la deslocalización ahora, como prometí. Porque uno necesita dos modos Majorana$\gamma_{1}$y$\gamma_{2}$a cada fermiónico regular$c{}^{\dagger}c$uno, cualquiera de los dos modos de Majorana asociados se combinan para crear un fermión regular. ¡Así que el desafío más importante es encontrar modos de Majorana deslocalizados ! Esa es la famosa propuesta de Kitaev arXiv:cond-mat/0010440 : dijo Majorana desapareada en lugar de deslocalizada, ya que la deslocalización vuelve a ser gratuita. Al final de un cable topológico (para mí, un$p$-alambre superconductor de onda) habrá dos modos de energía cero, decayendo exponencialmente en el espacio ya que se encuentran en el medio de la brecha. Estos modos de energía cero se pueden escribir como$\gamma_{1}$y$\gamma_{2}$y ellos verifican$\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$cada !

Para concluir, una pregunta vívida real, aún abierta: hay muchas pseudoexcitaciones con energía cero (en el medio de la brecha). La única diferencia entre los modos Majorana y las otras pseudoexcitaciones es la definición de Majorana$\gamma^{\dagger}=\gamma$, los otros son fermiones regulares. ¿Cómo detectar con certeza la pseudoexcitación de Majorana (modo de energía cero) en la jungla de los otros?

Los fermiones de Majorana son fermiones que son sus propias antipartículas. Como resultado, solo tienen la mitad de los grados de libertad que un electrón de Dirac regular. Una interpretación física, al menos para las cuasipartículas de fermiones de Majorana en sistemas de materia condensada, es que pueden pensarse en una superposición de un estado de electrón y hueco.

Solo los estados ligados de Majorana se pueden usar para realizar cálculos cuánticos topológicos. Si tiene un sistema con$2N$ fermiones de Majorana bien separados, entonces tienes un$2^N$-plegar estado fundamental degenerado. Puede realizar cálculos cuánticos en este sistema realizando una secuencia de intercambios entre estos$2N$Fermiones de Majorana. Estos intercambios se conocen como operaciones de "trenzado". Además, el orden en que realiza las operaciones de trenzado es importante. Por lo tanto, se dice que el sistema posee estadísticas no abelianas.

Es importante entender lo que significa hacer un cálculo. Dado que las majoranas son algo así como medios fermiones , no podemos medirlos directamente. Podemos inferir su existencia. ¡Otra forma de entender el problema de medir un fermión de Majorana es una ambigüedad en su identificación única! Digamos que tenemos un sistema con$2N$Fermiones de Majorana y en consecuencia$N$fermiones regulares. Necesita emparejar dos Majoranas para obtener un fermión regular (que podemos medir). ¡Pero hay más de una manera de hacer esto! Puedes hacer esto en

$$\frac{(2N)!}{2!(2N-2)!}$$ de varias maneras. Digamos que estamos de acuerdo en una convención y decidimos emparejar o fusionar dos Majoranas de cierta manera. Por ejemplo, en un enrejado 1-D decidimos emparejar solo Majoranas del vecino más cercano. Esta, de hecho, es la mejor opción para maridarlos. Así que ahora haces un montón de operaciones de trenzado y al final fusionas las Majoranas de acuerdo con la convención acordada y luego mides los estados de fermiones regulares resultantes. Ahí es cuando hemos hecho el cálculo. Solo cambiarlos no es suficiente. ¡No podrás saber si realmente se intercambiaron sin fusionarlos! Puede leer más sobre esto en la sección 3 de este excelente artículo de revisión:

http://arxiv.org/abs/1206.1736

Finalmente comentaré en qué consiste todo este asunto de la "topología". Una de las propiedades más fascinantes y contrarias a la intuición de un sistema que contiene Majoranas es que puede tener estados no locales en su sistema. Como mencioné anteriormente, puedes fusionar dos Majoranas para obtener un electrón regular. No importa si esos dos fermiones de Majorana están separados espacialmente. El estado electrónico (regular) resultante de la fusión de estas dos Majoranas es altamente no local. El hecho de que este estado electrónico no sea local significa que cualquier perturbación local no puede destruir este estado. Por lo tanto, tales sistemas son inmunes a la decoherencia, que es uno de los mayores problemas que enfrentan otros esquemas de computación cuántica. Este es uno de los mayores atractivos de la computación cuántica topológica.

Sin embargo, hay una trampa en esta interesante historia. No puede realizar computación cuántica universal con fermiones de Majorana. Para ello son necesarios dos procesos adicionales: el$\pi/8$puerta de fase y una forma de leer el valor propio del producto de 4 operadores de Majorana sin medir los valores propios de pares individuales (en ese grupo de 4). Desafortunadamente, las formas actuales de implementar tales procesos no disfrutan de protección topológica. ¡Pero aun así algo de protección topológica es mejor que nada!