¿Pueden emerger otros del espacio-momento que no sean dimensiones espaciales?

La pregunta natural, pero rara vez considerada, de si las estadísticas de trenzado anónico se pueden realizar en el espacio de momento (a diferencia del espacio de posición, como se discute generalmente) parece haber recibido recientemente una respuesta decididamente positiva, donde codimensión = 2 loci de cruces de bandas singulares en espacios separados. Se ha encontrado que los materiales captan fases (no abelianas) cuando se trenzan entre sí en el espacio de momento (ver la siguiente figura):

Esto se refiere a los puntos de Dirac en materiales 2d, pero en particular también a las líneas nodales de Weyl en materiales 3d, lo que significa que no solo los anyons ordinarios como puntos, sino incluso sus análogos de dimensiones superiores (ver aquí ) existen en el espacio de momento, tal vez de manera más tangible que sus primos del espacio de posición, por ejemplo, en lo que respecta a los mecanismos de ingeniería plausibles para su trenzado (que, a pesar del folclore común, es un problema grave en el espacio de posición, ver aquí ).

La siguiente es una lista de algunas referencias que hacen que las estadísticas anyónicas en el espacio de impulso sean muy explícitas, y de las cuales se puede encontrar una buena cantidad de artículos relevantes adicionales buscando citas.

Un hecho curioso a tener en cuenta es que estos artículos tienden a no usar ni siquiera mencionar el término "anyon" cuando se habla de operaciones de trenzado no abeliano en el espacio de momento. Tal vez esto refleje una desconexión en la comunidad de estado sólido; ciertamente hace que las consultas de los motores de búsqueda de "cualquiera en el espacio de impulso" salgan con las manos vacías incluso frente a una literatura relevante considerable:

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• A. Tiwari, T. Bzdušek,

  Topología no abeliana de anillos de líneas nodales en sistemas simétricos PT

  física Rev. B 101 (2020) 195130 ( doi:10.1103/PhysRevB.101.195130 )

  un nuevo tipo de "trenzado" no abeliano de anillos de líneas nodales dentro del espacio de momento

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• A. Bouhon, Q.-S. Wu, R.-J. Slager, H. Weng, OV Yazyev, T. Bzdušek:

  Trenzado recíproco no abeliano de puntos de Weyl y su manifestación en ZrTe

  Física de la naturaleza 16 (2020) 1137–1143 ( arXiv:1907.10611 , doi:10.1038/s41567-020-0967-9 )

  Puntos de Weyl en sistemas tridimensionales (3D) con$\mathcal{C}_2\mathcal{T}$simetría llevan cargas topológicas no abelianas. Estas cargas se transforman a través de factores de fase no triviales que surgen al trenzar los nodos dentro del espacio de momento recíproco.

  

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• B. Peng, A. Bouhon, R.-J. Slager, B. Monserrat:

  Topología de brechas múltiples y trenzado no abeliano de fonones a partir de primeros principios

  física Rev. B 105 (2022) 085115 ( arXiv:2111.05872 , doi:10.1103/PhysRevB.105.085115 )

  nuevas oportunidades para explorar el trenzado no abeliano de los puntos de cruce de bandas (nodos) en el espacio recíproco, proporcionando una alternativa al trenzado espacial real explotado por otras estrategias. El trenzado del espacio real está prácticamente limitado a los estados límite, lo que ha dificultado la observación y manipulación experimental; en cambio, el trenzado de espacio recíproco ocurre en los estados masivos de las estructuras de la banda y demostramos en este trabajo que esto proporciona una plataforma sencilla para el trenzado no abeliano.

  (Tal vez sea digno de mención cómo esta cita contrasta con el comentario de tparker ).

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• B. Peng, A. Bouhon, B. Monserrat R.-J. Slager:

  Los fonones como plataforma para el trenzado no abeliano y su manifestación en silicatos estratificados .

  Comunicaciones de la naturaleza 13 423 (2022) ( doi:10.1038/s41467-022-28046-9 )

  topologías de brechas múltiples con nodos de banda que llevan cargas no abelianas, caracterizadas por invariantes que surgen por el trenzado del espacio de momento de tales nodos

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• H. Parque, W. Gao, X. Zhang, SS Oh,

  Líneas nodales en el espacio de momento: invariantes topológicos y realizaciones recientes en sistemas fotónicos y otros

  Nanofotónica (2022) ( doi:10.1515/nanoph-2021-0692 )

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Le hice a mi asesor exactamente la misma pregunta hace un par de años. Dijo que no hay sentido de estadísticas anónicas en el espacio de momento (o en cualquier otra base que no sea el espacio real).

La razón de esto es que los anyons suelen surgir de un hamiltoniano microscópico que es espacialmente local y, estrictamente hablando, los anyons solo están bien definidos cuando se mantienen alejados unos de otros en el espacio. Si acerca dos anyones (es decir, del orden de la longitud de correlación o menos), entonces comienzan a perder su identidad como partículas individuales (como siempre ocurre en la mecánica cuántica con partículas idénticas). Estrictamente hablando, el factor de fase estadístico anyónico solo ocurre cuando se trenzan a largas distancias: si intentas trenzarlas juntas, se vuelve ambiguo qué partícula es cuál y, por lo tanto, cuántas veces se han rodeado. Pero la corrección se vuelve exponencialmente pequeña a largas distancias: la fase real captada en un proceso de trenzado es

$\theta = \theta_\text{dynamical} + \theta_\text{anyonic} + o(\exp(-r/\xi)),$

dónde$r$es la distancia entre los dos aniones y$\xi$es la longitud de correlación. (Muchas personas no son conscientes de esta sutileza porque su intuición se basa en el código tórico de Kitaev, donde la longitud de correlación es cero, por lo que los anyones permanecen bien definidos incluso en sitios de red adyacentes).

De todos modos, si tratas de localizar dos anyons en pequeños paquetes de ondas en el espacio de momento , entonces en el espacio real estarían cerca de las ondas planas y, por lo tanto, tendrían una gran superposición espacial, por lo que todo se desordenaría.

Esta desafortunada asimetría entre el espacio real y el momento se origina en el hecho de que los anyons no son verdaderas partículas puntuales (porque no se puede crear solo uno), sino que están conectados por cuerdas, por lo que es muy difícil cuantificar en segundo lugar directamente a los anyons. Por el contrario, con una partícula puntual "verdadera", las relaciones de conmutación canónicas se conservan bajo las transformadas de Fourier, por lo que todo es agradable y simétrico entre el espacio real y el momento.

Me preguntaba algo similar hace unos meses. Entonces llegué a la conclusión de que la mayoría de los bastones topológicos aparecen en el límite entre dos sectores topológicos diferentes. Un sector que se caracteriza por un número de Chern, o si prefiere una carga topológica, se necesita un límite/una interfaz entre dos sistemas caracterizados por una carga topológica diferente.

A$k$-el espacio (o cantidad de movimiento, o reciproco, o de Fourier,...) esta bien definido solo para condiciones peridicas de contorno. El hecho de que el$x \leftrightarrow k$es una transformada de Fourier impone una periodicidad en$x$o en$k$. Esa es la estricta condición bajo la cual$k$es un buen número cuántico. Tenga en cuenta que todavía podemos definir algunos cuasi -$k$para medios desordenados. Así que en principio no podríamos definir un$k$-espacio cuando un sistema tiene frontera. Tenga en cuenta que los sistemas infinitos suelen estar cerrados por condiciones de contorno periódicas, también llamadas condiciones de Born-von-Karman.

No estoy muy al tanto de anyons (todavía estoy aprendiendo sobre eso) pero creo que (¿casi todos? ¿Todos? No sé) aparecen debido a las condiciones de contorno en la materia condensada, por la razón Di sobre la transición de carga topológica. Así que creo que debería ser imposible definir anyons en$k$-espacio, por la sencilla razón de que el$k$-el espacio no es una descripción correcta de la materia cuando existen anyons.

Realmente agradecería comentarios/críticas sobre lo que dije, especialmente si es (parcialmente) incorrecto.