¿Hay una función de onda para anyons?

No creo que ese sea el caso. Una referencia útil es: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083 .

Una forma de abordar una teoría de anyons es comenzar escribiendo una lista de tipos de partículas junto con sus reglas de fusión. Una vez hecho esto, se pueden obtener ecuaciones de consistencia al resolver las ecuaciones del hexágono y el pentágono que surgen de las categorías de tensores modulares. Si tiene éxito en la resolución de estas ecuaciones, tiene una teoría viable de anyon. Si existen múltiples soluciones, tiene múltiples teorías.

Ahora, una vez que hagamos esto, podemos etiquetar cada estado en el hilbert con un árbol de fusión. Por lo tanto, nuestro espacio de Hilbert está muy bien definido, aunque sea abstracto. Podemos proporcionar interacciones en este espacio hilbert mediante la creación de proyectores que favorezcan que los anyons cercanos (en el espacio real) se fusionen en varios canales. De donde haciendo esto, en principio podríamos diagonalizar un sistema de tamaño finito y extraer las funciones de onda.

Un ejemplo simple es considerar Ising anyons. Estos aparecen en el modelo de panal de Kitaev y se manifiestan como modos cero de Majorana en los cables de onda p unidimensionales. (consulte, por ejemplo , http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491605002381 y). En el caso de cables de onda p 1D, ciertamente podemos escribir las funciones de onda de los modos cero de Majorana, ya que resultan ser soluciones de las ecuaciones BdG.

Para aquellos con una consulta similar, vale la pena leer el artículo original en el que se propusieron anyons, escrito por Leinaas y Myrheim en 1977 ( https://www.ifi.unicamp.br/~cabrera/teaching/referencia.pdf ). Proporciona una primera teoría cuantizada de anyons perfectamente consistente. Intenté resumir las principales afirmaciones del documento a continuación, pero no soy matemático, ¡así que avíseme si me estoy equivocando en algo!

La función de onda está sobre el espacio de configuración

Los autores del artículo señalan que se puede obtener una descripción en la que las restricciones de simetría surgen naturalmente dejando que la función de onda se defina sobre el espacio de configuración clásico del sistema. Por ejemplo, en el espacio de configuración de dos partículas idénticas, el punto$(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2)$se identifica con$(\mathbf{x}_2, \mathbf{x}_1)$- es decir, el punto donde se intercambian las dos partículas. Estos dos puntos son completamente indistinguibles entre sí.

La razón de las estadísticas de intercambio no triviales es que los puntos en los que coinciden las ubicaciones de las partículas, como$(\mathbf{x}, \mathbf{x})$, se eliminan del espacio de configuración. Es decir, el espacio tiene perforaciones, por lo que no está simplemente conectado. Tenga en cuenta que si no elimina estos puntos, obtendrá estadísticas de intercambio bosónico.

La función de onda es una función multivaluada desde este espacio de configuración perforado hacia el plano complejo (o hacia un espacio vectorial de mayor dimensión sobre el campo complejo, si se trata de espín y otras degeneraciones). El hecho de que la función de onda tenga varios valores significa que no puede simplemente aplicar el argumento simple que se hace en algunos libros de texto de que la fase adquirida en el intercambio debe cuadrar a 1.

El intercambio de partículas corresponde al movimiento a lo largo de circuitos cerrados en el espacio de configuración. Si el bucle no es contráctil, la función de onda es libre de tomar una fase compleja arbitraria cuando el sistema se mueve a lo largo de esta curva. En 2D, el espacio de configuración de dos partículas se puede considerar como un cono sin el punto del vértice, por lo que un camino que rodea el vértice$n$tiempos no es deformable en uno que lo circunda$m\neq n$veces. Es decir, un intercambio doble no es deformable en el camino trivial. Pero en 3D, el espacio de configuración de dos partículas (por separación fija entre las partículas) es una esfera con puntos antípodas identificados. Este espacio es tal que viajar dos veces alrededor de un bucle no contráctil da como resultado el bucle trivial. Es decir, un intercambio doble equivale a ningún intercambio. Por lo tanto, cualquier fase adquirida por un solo intercambio debe cuadrar a 1.

Más detalles

Supongamos que tenemos una función de onda sin componentes de espín. Es decir, en cada punto del espacio de configuración,$\mathbf{x}\in M$, tenemos un vector$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x})$en un espacio de Hilbert complejo 1D,$h_\mathbf{x}= \mathbb{C}$. Escrito en términos de una base normalizada,$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$,$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x}) = \psi (\mathbf{x}) \mathbf{\chi}_\mathbf{x}$. Viendo que el espacio es 1D,$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$es solo una fase compleja,$e^{i\theta_\mathbf{x}}$. La función$\psi (\mathbf{x})$es la función de onda del sistema y tiene varios valores, mientras que$\mathbf{\Psi}(\mathbf{x})$es el estado del sistema en el espacio de Hilbert y se supone que tiene un solo valor. En otras palabras, tenemos un haz de fibras donde el espacio de configuración es el colector base y la fibra es$h_\mathbf{x}$. El estado$\mathbf{\Psi}$es una sección del haz de fibras.

Dada la elección de la base$\mathbf{\chi}_\mathbf{x}$en el punto$\mathbf{x}$, podemos definir una base en todos los puntos en$M$si tenemos una noción de transporte paralelo. Dada una cierta elección de conexión (plana), uno no encuentra ningún cambio en la base después del transporte paralelo a lo largo de cualquier curva, a menos que esa curva circule alrededor de una de las perforaciones en el espacio. A lo largo de una de estas curvas no triviales,$\mathcal{C}$, los vectores base adquieren una fase compleja,$e^{i\alpha(\mathcal{C})}$, independiente de$\mathbf{x}$. Para que el estado$\mathbf{\Psi}$para ser de un solo valor, la función de onda debe ser cambiada por la fase compleja inversa a la adquirida por el vector base:$e^{-i\alpha(\mathcal{C})}$.

Si dos caminos cualesquiera son homotópicos (deformables entre sí), deben dar la vuelta a estos pinchazos el mismo número de veces y así adquieren el mismo factor. Es decir, la fase adquirida por intercambio está regida por el grupo fundamental del espacio de configuración. En efecto,$e^{i\alpha(\mathcal{C})}$pertenece a una representación unitaria del grupo fundamental que actúa sobre el espacio vectorial$h_\mathbf{x}$.

En 3D, el grupo fundamental del espacio de configuración es isomorfo al grupo simétrico, ya que un intercambio doble es homotópico al elemento trivial (no intercambio). Las únicas representaciones 1D del grupo simétrico son la representación trivial (bosones) y la representación alterna (fermiones), que envía permutaciones impares a -1 y permutaciones pares a +1. Mientras tanto, en 2D, el grupo fundamental para 2 partículas es isomorfo a$\mathbb{Z}$ya que el intercambio de partículas$n$veces es distinto de hacerlo$m\neq n$veces. Así, el grupo fundamental para$N$Las partículas son isomorfas al grupo trenzado . El grupo de trenzas tiene un continuo de representaciones 1D correspondientes a la multiplicación por cualquier fase compleja.

Debe intentar comprobar que el$n$partículas lagrangianas

$$L = L_{0} - \alpha \sum_{i =1, j > i}^{n}\frac{d}{dt}\theta(\mathbf r_{i} - \mathbf r_{j}),$$ dónde $L_{0}$es "estándar" muchas partículas lagrangianas y $\theta (\mathbf r_{i} - \mathbf r_{j})$es el ángulo acimutal entre $i$y $j$Los vectores de posición de las partículas, describen las estadísticas de los aniones (la amplitud dada de las partículas que se intercambian adquiere una fase adicional proporcional a $\alpha$).

A continuación, intente calcular el hamiltoniano y asegúrese de que los anyons se puedan describir agregando un campo de calibre ficticio que no se propaga con alguna restricción.

Finalmente, lo único que queda por hacer es resolver la ecuación de Schroedinger correspondiente...

PD Sobre tu comentario ("...Es decir, solo podemos tener fermiones o bosones. No podemos tener anyones..."): no tomas en cuenta que el primer grupo de homotopía para el espacio bidimensional no es el grupo de permutaciones$Z_{2}$, en cuanto a espacios con dimensión$> 3$. Por lo tanto, un bucle rodeado por un punto en el espacio de configuración de partículas que viven en 2D no se puede reducir a un punto (a diferencia del caso 3D). Es muy simple de entender, si imaginas el bucle cerrado con un punto dentro en 2D y en 3D. Esto significa que la función de onda de anyon no necesita tener un solo valor bajo el doble intercambio de partículas y, por lo tanto,$\alpha$de su comentario no necesita ser módulo 1.

Para ser más explícitos, para futuros lectores, existen segundos operadores cuantificados que describen cualquier 'excitación' o 'creación'. En el modelo de Kitaev, por ejemplo, llega a un hamiltoniano efectivo

$$\begin{equation} H=-J_{e} \sum_{\text {vertices }} A_{s}-J_{m} \sum_{\text {plaquettes }} B_{p}, \quad \text { where } \quad A_{s}=\prod_{\text {star }(s)} \sigma_{j}^{x}, \quad B_{p}=\prod_{\text {boundary }(p)} \sigma_{j}^{z}. \end{equation}$$

Estos$A,B$los operadores dan elemental$\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$-excitaciones que dan cargas con energia$2J_e$y vórtices con carga$2J_m$. Esas cargas y vértices son exactamente los$e,m$Abelian anyons.

Rara vez hay una primera descripción cuantificada de estas partículas por la misma razón que rara vez hay una primera descripción cuantificada de electrones en modelos de materia condensada; Los grados de libertad locales, como la posición absoluta, rara vez son importantes para describir la dinámica.

Considere la función de onda

$$\begin{equation}\label{eq:anyon_example} \Psi(z_1,z_2,\ldots, z_N)=\prod_{1\leq i<j\leq N} (z_i-z_j)^{p/q} e^{-\sum^N_{j=1} |z_j|^2}, \end{equation}$$ donde usamos coordenadas complejas$z=x+iy$para etiquetar las posiciones de las partículas, y$p,q$son enteros constantes relativamente coprimos. Cuando$q\neq 1$la función de onda tiene varios valores y debemos distinguir entre los intercambios en el sentido de las agujas del reloj (CW) y en el sentido contrario a las agujas del reloj (CCW). Para cualquier par$i,j$de partículas, si trenzamos$z_i$CCW alrededor$z_j$, tenemos$\Psi\to e^{i\pi p/q}\Psi$mientras que para una trenza CW, tenemos$\Psi\to e^{-i\pi p/q}\Psi$, entonces esto representa una función de onda de$N$anyons abelianos idénticos.