¿Qué es el parafermión en la física de la materia condensada?

Esta es una pregunta muy general, creo que podría proporcionar una idea, pero sin duda tendrá que ser elaborada por alguien con esta experiencia específica.

1. los$\mathbb{Z}_k$Los fermiones para surgen en varios modelos de mecánica estadística. Son a la vez interesantes y sutiles porque sus estadísticas de intercambio dependen de sus posiciones (en una dimensión). Es más intuitivo entenderlos como excitaciones que surgen de un$\mathbb{Z}_k$modelo de reloj cuántico. En el$\mathbb{Z}_k$reloj modelo tenemos operadores locales en cada sitio,$\sigma$y$\tau$que obedecen$\sigma^k =\tau ^k = 1$y$\sigma \tau = \omega \tau \sigma$con$\omega = e^{2 \pi i /k}$. A partir de estos operadores podemos definir un hamiltoniano,

   $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n (-J\sigma_n^{\dagger} \sigma_{n+1}+h.c.) -h(\tau_n +\tau_n^\dagger) \end{equation}$$ Esto entonces toma la forma familiar de un modelo de Ising de campo transversal 1D (k = 2). El modelo de Ising de campo transversal permite una transformación de Jordan-Wigner que lo lleva a fermiones libres. La generalización de esta transformación lleva el modelo de reloj a uno de parafermiones (no libres) (explicaré esto). La transformación es: $$\begin{eqnarray} \alpha_j &=& \sigma_j \prod_{i<j} \tau_i \\ \beta_j &=& \sigma_j \tau_j \prod_{i<j} \tau_i. \end{eqnarray}$$ Con estas transformaciones en su lugar, podemos verificar que el hamiltoniano en términos de los operadores de parafermiones toma la forma: $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n -J\omega\alpha_{n+1}^\dagger \beta_n - h\omega \beta_n^{\dagger} \alpha_n +h.c. \end{equation}$$ Con los parafermiones satisfaciendo las relaciones de conmutación$\alpha_j \alpha_{j^{\prime}} = \omega^{sgn(j^\prime - j)} \alpha_{j^{\prime}} \alpha_j$y lo mismo para los demás. De ahí las relaciones de conmutación dependientes del sitio. La introducción a http://arxiv.org/abs/1209.0472 proporciona más detalles de una manera muy legible.

2. ¿Cómo se comparan estos parafermiones con los modos majorana en la física de la materia condensada? Bueno, está claro que son una generalización directa de los operadores de Majorana encontrados a partir de la transformación de Jordan-Wigner (o caso k=2 aquí). Pero son bestias completamente diferentes cuando se trata de modos cero. Esto se ve más fácilmente tratando de resolver el espectro de teorías. Para$k=2$tenemos el de Majorana, podemos calcular el espectro resolviendo para operadores de escalera que satisfagan$[H,\gamma_k] = E_k \gamma_k$. Este es un ejercicio relativamente sencillo y da como resultado soluciones de onda plana con un espectro que parece$E_k = \pm2\sqrt{h^2(\cos{k}-1)^2 + J^2\sin^2{k}}$( esto debería estar marcado ). Si uno prueba la misma metodología con los parafermiones, queda bastante claro que conmutar algo lineal en parafermiones produce bilineales en parafermiones. Esto nos indica que nuestra teoría ya no es libre. Esto es lo que creo que es la mayor diferencia.

3. ¿Cómo se relacionan con los anyons de Ising y los anyons de Fibonacci? Los anyons de Ising están íntimamente relacionados con los modos cero de Majorana: satisfacen las mismas estadísticas no abelianas hasta un total$U(1)$fase. Conozco una conexión sobre la que alguien más podría profundizar. Se sabe que estos modelos son todos autodual y tienen un punto crítico en$h = J$y aquí consideramos$h$y$J$real. Estos puntos críticos se describen mediante teorías de campo conforme de parafermiones (CFT) en el límite termodinámico. La CFT que rige la teoría k=3 tiene un campo cuyo operador producto satisface las reglas de fusión de Fibonacci.

4. En dos dimensiones pueden pasar cosas graciosas cuando intercambiamos partículas. En lugar de la$\pm$signo que distingue partículas bosónicas de partículas fermiónicas en 3 o más dimensiones en dos dimensiones las partículas pueden tomar una fase arbitraria$e^{i \theta}$. Esto sería característico de un anyon abeliano. Un anyon no abeliano también puede tomar esa fase pero, aún más extrañamente en lugar de solo una fase general, su estado fundamental completo (degenerado) puede sufrir una transformación unitaria. Aquí se ofrece una excelente reseña sobre el tema: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083 .