Pregunta sobre restricciones holonómicas.

es un resultado fundamental$^1$en la teoría de subvariedades diferenciables incrustadas que pueden describirse de manera equivalente

• en la zona$^2$como una subvariedad/gráfico parametrizado,

• o localmente como una subvariedad restringida.

Ejemplo: una elipse en el plano 2D puede describirse mediante una parametrización$(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$o a través de una restricción$(x/a)^2+(y/b)^2=1$.

Dependiendo de la aplicación, ambas descripciones pueden ser útiles. A menudo, lo más sencillo es utilizar la descripción con la menor cantidad de variables posible. Si una de las descripciones falla, significa que no se cumplen algunas de las condiciones técnicas de regularidad (que en su mayoría se asumen implícitamente en Goldstein), cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

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$^1$Este resultado está incluido en cualquier libro de texto decente sobre geometría diferencial (DG). (Véase, por ejemplo, la Proposición 3.2.1 en Ben Andrews, Lectures on DG .) La herramienta principal en su demostración es el teorema de la función inversa .

$^2$La palabra "localmente" aquí significa "en un vecindario abierto".

yo lo entiendo asi:

Ejemplo: una partícula con coordenadas esféricas (parámetro$r\,,\theta\,,\varphi$)

$$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} x\\ y\\ z\end {array} \right] =\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]\tag 1$$

podemos resolver la ecuación (1) para$r\,,\theta\,,\varphi$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag 2$$ $$\theta=\arctan(x/y)\tag 3$$ $$\varphi=\frac{z}{x^2+y^2}\tag 4$$

la ecuación de la restricción

$$r^2-l^2\cos^2(\varphi)\cos(\theta)=0\tag 5$$

ahora podemos elegir las coordenadas generalizadas:

si resolvemos la ecuación (5) para$r$entonces obtenemos (3)$\quad q_1(x,y)=\theta$y (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

si resolvemos la ecuación (5) para$\theta$entonces obtenemos (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$y (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

y

si resolvemos la ecuación (5) para$\varphi$entonces obtenemos (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$y (3)$\quad q_2(x,y)=\theta$

siempre obtenemos un resultado único para$q_1(x,y,z)$y$q_2(x,y,z)$y usamos el "inverso" del vector de posición y la ecuación restringida.

Creo que el autor solo se refiere a "ellos" como los números que tienes para las diferentes variables.$Q=\{q_i\}$mientras que tiene razón en que estos números solo tienen sentido en este contexto a través de sus parametrizaciones$\mathbf r_i(Q)$y si entiende la oración de esa manera, está expresando una tautología y no se necesita más información.

Dicho esto, si tuviera un sistema realmente simple, probablemente haya algunos casos degenerados en los que solo las ecuaciones para esos parámetros no son invertibles sin conocer completamente las restricciones. Por ejemplo, podríamos tener dos partículas viviendo en 2D, una está restringida a vivir en la línea$x=0$y el otro está obligado a vivir en la línea$y=0$, y digamos que están unidos por un resorte con longitud en reposo$\ell$. Sabemos que podemos describir este sistema con dos variables$(x, y)$y el mapeo de$(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \mapsto (x, y)$va a ser

$$\big([x_1, y_1], [x_2, y_2]\big) \mapsto (x_1, y_2)$$ pero descubriendo que$x_2=0, y_2=0$no es directamente posible solo dada esta función; no es reversible.

Pero dicho esto, esta es una forma poco natural de describir la descripción. Cuanto más natural$\mathbf r_i(Q)$de hecho es especificar

$$\mathbf r_1(x, y) = [x, 0]\\\mathbf r_2(x, y) = [0, y]$$ y esto de hecho incorpora las restricciones y, por lo tanto, no se necesita más referencia a las restricciones para usar el$x,y$para determinar las posiciones.

Respuesta

Necesitamos k ecuaciones de restricción porque necesitamos encontrar 3N variables y no tenemos 3N ecuaciones de coordenadas independientes sino solo 3N-K (de q3N-k ), las k restricciones (recordando que las restricciones son relaciones entre las variables de posición (y posiblemente tiempo ) Goldstein Classical Mechanics 3ED p.12) proporcionará un conjunto de k ecuaciones que junto con las 3N-K ecuaciones de coordenadas independientes formarán un conjunto que hace que el sistema esté determinado de forma única (número de ecuaciones igual al número de variables desconocidas).

OB:

el espacio local es el espacio-tiempo de Minkowsk , por lo que requiere la coordenada del tiempo. Nuestro problema se reduce a descubrir 3 coordenadas de espacio local para cada partícula.

cómo estamos tratando con dos sistemas de espacio (local y generalizado) necesitaremos garantizar la transformada inversa, la transformada hacia atrás está asegurada en el sistema holonómico.

El sistema holonómico se define en contraste con la definición de sistema no holonómico dada por Hertz (los sistemas no holonómicos son sistemas en los que las condiciones cinemáticas dan solo relaciones entre diferenciales de las coordenadas y no como relaciones finitas entre las propias coordenadas), por lo tanto, holonómico los sistemas siempre tienen funciones diferenciales integrables ∂F/(∂qi )dqi (i = 1 a 3N-k) que permiten la transformada inversa.

Recordando: en el sistema holonómico, las restricciones k conducen a la reducción a 3N-k coordenadas independientes o, de manera equivalente, a rN funciones con k restricciones implícitas (Goldstein Classical Mechanics 3ED p. 13). Por lo tanto, rN funciona no linealmente independiente, sino equivalente a 3N- k conjunto de ecuaciones linealmente independientes en el espacio generalizado qi. Las restricciones k le permiten eliminar las variables dependientes.